12-12.Um artigo em Biotecimology Progress(2001.Vol.17,pp.366-

368)rportou umexperimento para investigar e otimiar a extracao de

nisina em sistemas bifasicos aquosos(SBA).A recuperacao de nisina

foi a variavel dependente(y).As duas variaveis regressoras foram con-

centracio()de PEG4000(denotada comotJe concentracao()de

Na.SO:(denotada comot).

(a)Ajuste um modelo de regressao linear muitipla a esses dados.

(b)Estime oe os erros-padrao dos coeficientes de regressao.

(c)Use o modelo para prever a recuperacao de nisina,quandox=14.5

ex=12.5.

Passo 1

Letra a:

A matriz X então contém 1's na primeira coluna, os valores x 1 na segunda coluna, os valores x 2 na terceira coluna

X = 1 13 11 1 15 11 1 13 13 … 1 14 12

A matriz y contém os valores y:

y = 62.8739 76.1328 87.4667 … 78.7417

Os coeficientes da equação de predição de segunda ordem são então encontrados calculando X T X - 1 ( X y )

β ^ = X T X - 1 X ' y = - 171.2589 7.0290 12.6959

A equação de regressão então se torna:

y ^ = - 171.2589 + 7.0290 x 1 + 12.6959 x 2

Passo 2

Letra b:

A soma dos quadrados dos erros é:

S S E = y ' y - y ' X X T X - 1 X T y = [ 56.8546 ]

A estimativa da variância σ 2 é então o erro de quadrados dividido pela diferença do tamanho da amostra e o número de parâmetros (número de colunas de X ' X - 1 :

σ ^ 2 = S S E n - p = 56.8546 9 - 3 = 56.8546 6 ≈ 9.4758

Passo 3

X T X - 1 = 85.1111 … … … 0.2500 … … … 0.2500

O erro padrão é a raiz quadrada do produto da estimativa da variância σ 2 e o elemento C i i da matriz X ' X - 1 :

S E β ˙ 0 = σ ^ 2 C 00 = 9.4758 85.1111 ≈ 28.3989 S E β ^ 1 = σ ^ 2 C 11 = 9.4758 0.2500 ≈ 1.5391 S E β ^ 2 = σ ^ 2 C 22 = 9.4758 ( 0.2500 ) ≈ 1.5391

Passo 4

Letra c:

Substitua x 1 na equação de regressão por 14.5, x 2 por 12.5:

y ^ = - 171.2589 + 7.0290 ( 14.5 ) + 12.6959 ( 12.5 ) = 89.3604

Resposta

  1. y ^ = - 171.2589 + 7.0290 x 1 + 12.6959 x 2
  2. 9.4758,28.3989,1.5391,1.5391
  3. 89.3604
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