Se X 1   e   X 2 são variáveis aleatórias exponenciais independentes com respectivos parâmetros λ 1   e   λ 2 , determine a distribuição de Z = X 1 / X 2 . Também calcule P{ X 1 X 2 ].

Passo 1

Fala galera, beleza? Bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

Pelo enunciado, X e Y são independentes, então:

f x , y = λ 1 e - λ 1 x λ 2 e - λ 2 y

Vamos começar calculando:

F z z = P ( Z < z )

F z z = P X 1 X 2 < z

F z z = P X 1 < z X 2

Show, com isso nós também podemos igualar:

F z z = P X 1 < z X 2 = ∫ 0 ∞ ∫ 0 z y λ 1 e - λ 1 x λ 2 e - λ 2 y d x d y

Vamos integrar em relação x e calcular os limites de integração:

F z z = ∫ 0 ∞ ( 1 - e - λ 1 z y ) λ 2 e - λ 2 y d y

Vamos integrar em relação y e calcular os limites de integração:

F z z = 1 - λ 2 λ 1 z + λ 2

F z z = λ 1 z λ 1 z + λ 2

Com o valor de F z z em mãos, podemos calcular a distribuição de Z:

f z z = d F z z d z

f z z = λ 1 λ 2 ( λ 1 z + λ 2 ) ²

Passo 2

Beleza, agora nós vamos calcular P ( X 1 < X 2 ) :

P X 1 < X 2 = P X 1 X 2 < 1

P X 1 < X 2 = P Z < 1

P X 1 < X 2 = λ 1 λ 1 + λ 2

Resposta

f z z = λ 1 λ 2 ( λ 1 z + λ 2 ) ²

P X 1 < X 2 = λ 1 λ 1 + λ 2

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