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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Meyer - Aplicações a Estatística- Ed: 2º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 22

Demonstre o Teor. 9.4.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos a nossa esperança. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser relembrar o que o exercício nos deu. Preparado??

Com essa estrutura de probabilidade, podemos arrumar para botar em função do primeiro valor da distribuição dela. Lembra como faz?? Não?? Vai lá na teoria que eu te esperoaqui...

Achou?? Então me diz aii...

P (X >= x) = P (Y >= (x - mu)/(sigma))

Gamma (k) = int x^(k - 1) e^(- x) d x

f (x , y) = (1)/(2 pi sqrt(1 - rho^2) sigma_x sigma_y) e^(- ((1)/(2 (1 - rho^2))) [((x - mu_x)/(sigma_x))^2 - 2 rho ((x - mu_x) (y - mu_y))/(sigma_x sigma_y) + ((y - mu_y)/(sigma_y))^2])

Com isso, podemos começar a pensar.

f (x , y) = (1)/(2 pi sqrt(1 - rho^2) sigma_x sigma_y) e^(- ((1)/(2 (1 - rho^2))) [((x - mu_x)/(sigma_x))^2 - 2 rho ((x - mu_x) (y - mu_y))/(sigma_x sigma_y) + ((y - mu_y)/(sigma_y))^2])

e^(- ((1)/(2 (1 - rho^2))) [((x - mu_x)/(sigma_x))^2 - 2 rho ((x - mu_x) (y - mu_y))/(sigma_x sigma_y) + ((y - mu_y)/(sigma_y))^2]) = c

f (x , y) = ln (2 c pi sqrt(1 - rho^2) sigma_x sigma_y)

((x - mu_x)/(sigma_x))^2 - 2 rho ((x - mu_x) (y - mu_y))/(sigma_x sigma_y) + ((y - mu_y)/(sigma_y))^2 = - 2 (1 - rho^2) ln (2 c pi sqrt(1 - rho^2) sigma_x sigma_y)

A = (1)/(sigma_x^2)

B = (1)/(sigma_y^2)

C = - (2 rho)/(sigma_x sigma_y)

D = - ((2 mu_x)/(sigma_x^2) + (2 rho mu_y)/(sigma_x sigma_y))

E = - ((mu_y)/(sigma_y^2) + (2 rho mu_x)/(sigma_x sigma_y))

F = ((mu_y)/(sigma_y^2) + (mu_x)/(sigma_x^2) - (2 rho mu_x)/(sigma_x sigma_y)) + 2 (1 - rho^2) ln (2 c pi sqrt(1 - rho^2) sigma_x sigma_y)

A x ² + B y ² + C x y + D x + E y + F = 0 -> e q u a ç ã o d a e l i p s e

Passo 3

Pronto!! Agora é só obter nossa distribuição!!

rho = 0

A = B , C = 0

A x ² + B y ² + D x + E y + F = 0 -> e q u a ç ã o d a c i r c u n f e r ê n c i a

Resposta

A x ² + B y ² + C x y + D x + E y + F = 0 -> e q u a ç ã o d a e l i p s e

A x ² + B y ² + D x + E y + F = 0 -> e q u a ç ã o d a c i r c u n f e r ê n c i a

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