Enunciado
Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 111
2-111. Em uma titulação ácido-base, uma base ou um ácido é gradualmente adicionado ao outro até que eles estejam completamente neutralizados entre si. Uma vez que ácidos e bases são geralmente incolores(como são a água e o sal produzidos na reação de neutralização), o pH é medido para monitorar a reação. Suponha que o ponto de equivalência seja alcançado depois de aproximadamente 100 mL, de uma solução de NaOH terem sido adicionados (o suficiente para reagir com todo o ácido acético presente), porém, nas repetições das medidas, os valores entre 95 e 104 ml, são igualmente prováveis, medidos em mL. Considere que dois técnicos conduzam a titulação de forma independente.
- Qual é a probabilidade de ambos os técnicos obterem equivalência em 100 mL?
- Qual é a probabilidade de ambos os técnicos obterem equivalência entre 98 e 104 mL(inclusive)?
- Qual é a probabilidade de o volume médio na equivalência ser de 100 mL, medido pelos dois técnicos?
Passo 1
Os técnicos e obtêm independentemente equivalência nas seguintes quantidades:
e com probabilidades iguais. Seja e as quantidades em que os técnicos e obtêm equivalência, respectivamente. Isso significa que:
,
,
Letra a:
Observe que usamos a independência na primeira igualdade.
Passo 2
Na letra b:
Novamente usamos a independência na primeira igualdade.
Passo 3
Na letra c:
O número total de resultados para obter equivalência é porque os dois técnicos podem obter equivalência de 10 maneiras possíveis. Nós precisamos encontrar o número de resultados relevantes, ou seja, precisamos de todos os pares de tal modo que:
Existem 9 pares no total:
Então, a resposta final é: