Exercícios de Eventos Independentes & Mutuamente Exclusivos - Lista de Exercícios Resolvida

Para competir em uma certa regata as embarcações podem velejar com no máximo 4 tripulantes. Os tripulantes de cada embarcação são inscritos previamente e não podem ser alterados mais tarde. A embarcação Chez Moi, participante da regata, inscreveu Alberto, Bernardo, Carlos e Diogo. Carlos e Diogo confirmaram a presença na regata com probabilidade 100%. A probabilidade de Alberto comparecer à regata é 50%, enquanto que a de Bernardo, é 70%. A decisão de comparecer ou não por parte de Alberto não influencia a decisão de comparecer ou não por parte de Bernardo e vice versa. Note que o fato do número de velejadores no barco poder ser igual a 2, 3 ou 4 caracteriza uma partição do espaço amostral. Com a tripulação completa, a embarcação Chez Moi tem 80% de probabilidade de vencer a regata; com apenas Carlos e Diogo, esta probabilidade cai para 20%; e com três tripulantes a probabilidade de vencer é de 50%. Pede-se calcular a probabilidade de que:

1. pelo menos um dos velejadores, Alberto ou Bernardo, compareçam à regata;

Considere dois eventos A e B, mutuamente exclusivos, com P(A)=0,3 e P(B) =0,5. Calcule:

a)

b)

c)

d)

Se ; e , determine o valor de r no caso de:

(a) e serem mutuamente exclusivos.

b) Considere a seguinte afirmação: Se e são dois eventos mutuamente exclusivos, então , indicando que a ocorrência do evento não traz informação sobre a probabilidade de ocorrência do evento . Esta afirmativa é verdadeira ou falsa?

Verifique se é válida a afirmação abaixo

Se então A e B não podem ser disjuntos.

As probabilidades de que dois eventos independentes ocorra são p e q, respectivamente. Qual a probabilidade:

a) de que nenhum desses eventos ocorra?

b) de que pelo menos um desses eventos ocorra?

Na tabela abaixo, os números que aparecem são as probabilidades relacionadas com a ocorrência de etc. Assim , enquanto .

Verifique se A e B são independentes.

(a) Se A, B e C são independentes, prove que são independentes.

(b) Nas mesmas condições, prove que são independentes.

Uma loteria esportiva contém jogos entre times, Marca-se, para cada jogo, uma das possibilidades (se ganhou, perdeu ou empatou com ). Assuma que a ganhar/perder/empatar são equiprováveis.

Qual é a probabilidade de se acertar o resultado de exatamente jogos?

b) Se 3 eventos A, B e C são independentes, qual é a probabilidade de interseção desses 3 eventos?

Considere as afirmações abaixo. Sobre dois eventos e de um experimento que tem espaço amostral .

1. Se , então e são eventos independentes.
2. Se , então quando ocorre, também ocorre.
3. Se , então =e independente de , mas não é independente de .
4. O evento é independente de , qualquer que seja .

Então a alternativa correta é:

1. Só (a) e (d) são verdadeiras.
2. Só (a) e (c) são verdadeiras.
3. Só (d) é verdadeira.
4. Só (a) é verdadeira.
5. Todas são falsas.

O tempo de travessia de uma balsa é uma variável aleatória que assume os valores , e minutos com probabilidades iguais. Carlos pega esta balsa diariamente para ir ao trabalho. Entretando, ele não consegue pegar a conexão com o ônibus da firma se o tempo gasto com a travessia for . Não pegando o ônibus ele consegue um taxi com probabilidade , e, neste caso, chega a tempo no serviço. Não conseguindo um taxi ele vai a pé e chega atrasado. Sua firma tem a política de tolerar no máximo de atrasos por ano.

1. Calcule a probabilidade de que, num dia normal de trabalho, Carlos chegue atrasado no serviço.

1. Se eventos e são independentes, qual é a probabilidade de interseção desses eventos.

Sejam e dois eventos de um espaço amostral . Se , e , e serão independentes se for igual a:

2. ;
3. ;
4. ;
5. .

Considere três eventos A, B e C. Considere:

3. ;

São verdadeiras apenas as afirmações:

1. (a) e (b) e (c);
2. (a) e (c);
3. (b) e (c);
4. (b);
5. (a) e (b).

Em uma indústria de cosméticos uma das matérias primas é fornecida em frascos. A presença de um contaminante no conteúdo de um dos frascos prejudica todo o processo. A análise química da amostra de um frasco permite a determinação do contaminante. De modo a reduzir o número de análises, separam-se frascos e retira-se uma amostra de cada um dos frascos e as amostras são misturadas num único lote e então efetua-se a análise do lote. Se a análise do lote indicar que não há contaminação, então considera-se que os frascos estão aprovados (supõe-se que basta uma amostra contaminada para que todo o lote fique contaminado). Se a análise indicar que ha contaminação, procede-se à análise de todas as amostras (ou seja, realiza-se um total de análises para este lote). Se a probabilidade do conteúdo de um frasco estar contaminado for , e a presença ou não de contaminação em cada recipiente for independente das demais, o valor esperado para o número de análises para um lote de frascos é:

Considere um experimento em que um número real R é sorteado do intervalo Ω = [0,1]. A probabilidade do número sorteado cair em um intervalo de comprimento L é L. Sejam os intervalos = [0,a] (a ∈ Ω) e = [ 1/8, 5/8]. Definem-se as variáveis aleatórias: = 1 se R ∈ , = 0 caso contrário, e analogamente = 1 se R ∈ , = 0 caso contrário.

Dentre as afirmações a seguir, quais são verdadeiras?

a) Pode-se afirmar que ∃a ∈ Ω tal que os eventos e são independentes.

b) Pode-se afirmar que ∃a ∈ Ω tal que as variáveis aleatórias e são independentes.

c) A correlação entre e é sempre nula, qualquer que seja a ∈ Ω.

Dois dados são lançados e dois números são obtidos: o primeiro é ; e o segundo, . Considere o evento; , o evento ; e , o evento . Considere:

1. e são independentes
2. e são independentes
3. , e são independentes

São verdadeiras apenas as afirmações:

1. (a) e (b) e (c);
2. (b) e (c);
3. (c);
4. (a) e (b);
5. (b).

Em uma loja, dos produtos apresentam defeito. A loja vende o produto em pacotes contendo produtos selecionados aleatóriamente. Caso o consumidor compre um pacote com um ou mais produtos com defeito, ele retorna à loja para trocar o pacote. Um dado consumidor comprou pacotes. Qual a probabilidade de ele retornar a loja para troca?

9) Um meliante possui um conjunto grande de chaves especiais para tentar abrir uma porta de uma mansão. A probabilidade de cada chave abrir a porta é e cada tentativa leva exatamente minutos. Uma viatura passará em exatamente minutos após o meliante começar suas tentativas e o prenderá com certeza se o meliante estiver fora da casa, mas com probabilidade se este estiver dentro da casa. Qual é o valor mais próximo da probabilidade do meliante ser preso?

a)

b)

c)

d)

e)

Teste 1 Sejameventos com as seguintes probabilidades . Considere:

São verdadeiras apenas as afirmações: