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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 85

9-85. Em uma amostra aleatória de 85 mancais de cixos de motores de

automóveis, 10 têm uma rugosidade no acabamento de superficie que

excede as especiticações. Esses dados apresentam forte evidencia d que

a proporçào de mancais que exibem rugosidade no acabamento de su-

perficic excede 0.10?

(a) Estabeleça e teste as hipóteses apropriadas usando a - 0.05.

(b) Se realmente p 0,15. qual a probabilidade de o prcedimento de

leste no item (a) não rejeitar a hipótese nula?

(c) Se p-0.15. quão grande deve seraamostra para que tenhamos uma

probabilidade de rejeitar corretamente a hipótese nula igual a 0,9

Passo 1

Faaaala aí,

Vamo aprender uma questão aqui?

Vamo!

Suponha que uma amostra aleatória de tamanho n   tenha sido obtida de uma grande população e que X observações nesta amostra pertençam a uma classe de interesse. Então

P ^ = X n                       ( 1 )

é um estimador pontual da proporção da população p . Se p   não estiver muito próximo de 0 ou 1 e se n for relativamente grande, a distribuição amostral de P é aproximadamente normal com média p e variância p ( 1 - p ) / n . Para aplicar esta aproximação, exigimos que n p e n ( 1 - p ) sejam maiores ou iguais a 5.

Consideraremos testar:

H 0 : p = p 0

Contra

H 0 : p > p 0

Para testar H 0 , calcule a estatística de teste

Z 0 = X - n p 0 n p 0 1 - p 0                     ( 2 )

é aproximadamente normal padrão.

Em uma amostra aleatória de n = 85 mancais de eixos de motor de automóvel, x = 10 têm uma rugosidade de acabamento superficial que excede as especificações.

Passo 2

Letra a:

Consideramos o teste de

H 0 : p = 0.1

Contra

H 1 : p > 0.1

Da Equação (1) a amostra p

p ^ = 10 85 = 0.117

O valor Z que obtemos da Equação (2) é

z 0 = 10 - 85 × 0.1 85 × 0.1 ( 1 - 0.1 ) = 0.54

Agora, da Tabela III do Apêndice, obtemos

α 0.05 = 1.65

Então

z 0 = 0.54 < 1.65 = α 0.05

Então, concluímos que falhamos em rejeitar H 0 .

Passo 3

Letra b:

Na avaliação do procedimento de teste de hipóteses, também é importante examinar a probabilidade de um erro do tipo II. Isso é

β = P  falha em rejeitar H 0  quando  H 0   é   f a l s o )   = Φ p 0 - p + z α p 0 1 - p 0 n p 1 - p n                   ( 1 )

A verdadeira proporção é realmente p = 0.15 , então da Equação (1), obtemos

β = Φ 0.1 - 0.15 + 1.65 0.1 1 - 0.1 85 0.15 1 - 0.15 85 = Φ ( 0.095 )

Agora, do Apêndice Tabela III, obtemos

β = 0.535856

Passo 4

Letra c:

O tamanho aproximado da amostra n   que fornece um teste de nível a que tem um risco β específico para uma alternativa unilateral é

n = z α p 0 1 - p 0 + z β p ( 1 - p ) p - p 0 2                   ( 2 )

Nós sabemos que p = 0.15 e β = 1 - 0.9 = 0.1 . Da Equação (2), obtemos

n = 1.65 0.1 ( 1 - 0.1 ) + 1.28 0.15 ( 1 - 0.15 ) 0.15 - 0.1 2 ≈ 363

Resposta

  1. Nós falhamos em rejeitar H 0 , porque z 0 = 0.54 < 1.65 = α 0.05 .
  2. β = 0.535856
  3. n ≈ 363
Ver Outros Exercícios desse livro

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