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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 78

9-78. Uma amostra alcatória de 300 circuitos gerou 13 defeituosos.

(a) Use os dados para testar. Encontre o valor p.

(b) Explique como a questão do item (a) poderia ser respondida com um intervalo de confiança.

Passo 1

Oi oi gente, tudo bom com vocês?

Vamos fazer essa questão aqui de um jeito bem passo a passo pra facilitar a vida de todo mundo!Boraaa

Suponha que uma amostra aleatória de tamanho n   tenha sido obtida de uma grande população e que X observações nesta amostra pertençam a uma classe de interesse. Então

P ^ = X n                   ( 1 )

é um estimador pontual da proporção da população p . Se p   não estiver muito próximo de 0 ou 1 e se n for relativamente grande, a distribuição amostral de P é aproximadamente normal com média p e variância p ( 1 - p ) / n . Para aplicar esta aproximação, exigimos que n p e n ( 1 - p ) sejam maiores ou iguais a 5.

Consideraremos testar:

H 0 : p = p 0

Contra

H 0 : p ≠ p 0

Para testar H 0 , calcule a estatística de teste

Z 0 = X - n p 0 n p 0 1 - p 0                   ( 2 )

é aproximadamente normal padrão e determina o valor P. Como a estatística de teste segue uma distribuição normal padrão se H 0 for verdadeiro, o valor P é

valor P  = 2 P 1 - Φ z 0                     ( 3 )

Uma amostra aleatória de n = 300 circuitos geraram x = 13 defeituosos.

Passo 2

Letra a:

Consideramos o teste de

H 0 : p = 0.05

Contra

H 1 : p ≠ 0.05

Da Equação (1) a amostra p

p ^ = 13 300 = 0.043

O valor Z que obtemos da Equação (2) é

z 0 = 13 - 300 × 0.05 300 × 0.05 ( 1 - 0.05 ) = - 0.53

Agora, da Tabela III do Apêndice, obtemos

α 0.05 / 2 = α 0.025 = - 1.96

Então

z 0 = - 0.53 > - 1.96 = α 0.025

Então, concluímos que falhamos em rejeitar H 0 .

Agora, da Equação (3), o valor P para este teste é

v a l o r   P   = 2 ( 1 - Φ ( 0.043 ) ) = 2 ( 1 - 0.515953 ) = 0.968

Passo 3

Letra b:

Um I C   95 %   é

p ^ - z a 2 p ^ 1 - p ^ n ≤ p ≤ p ^ + z α 2 p ^ 1 - p ^ n 0.043 - 1.96 0.043 1 - 0.043 300 ≤ p ≤ 0.043 + 1.96 0.043 1 - 0.043 300 0.0203 ≤ p ≤ 0.0664

O valor 0.05 pertence ao I C ( 0.0203 ,   0.0664 ) , então deixamos de rejeitar H 0 .

Resposta

  1. Nós falhamos em rejeitar H 0 , porque z 0 =   - 0.53 > - 1.96 = α 0.025 . V a l o r   P   para esse teste é 0.968
  2. 0.0203 ≤ p ≤ 0.0664
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