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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 17

As alturas de 10.000 alunos de um colégio têm distribuição aproximadamente normal, com média 170 cm e desvio padrão 5 cm.(a) Qual o número esperado de alunos com altura superior a 165 cm?(b) Qual o intervalo simétrico em torno da média que conterá 75% das alturas dos alunos?

Passo 1

Para responder à alternativa (a) devemos entender que a proporção de alunos com altura superior a 165cm é dada por

P X   >   165

Logo,

P Z > X - μ σ = P ( Z   > 165   -   170 5 )   =   P ( Z   > - 1 )   =   0,8413

Ou seja, 84,13% serão maiores que 165cm, um total de 8413 alunos.

Passo 2

Para responder à alternativa (b) deve-se calcular o intervalo dentro de uma curva normal que representará 75% das alturas dos alunos.

Logo, queremos saber:

P h 1 < X < h 2 = 0,75

Transformando X em Z,

P h 1 < X < h 2 = P h 1 - 170 5 < Z < h 2 - 170 5

Concorda comigo que esse intervalo será um intervalo simétrico?

Portanto, podemos escrever que:

P - h < Z < h = 0,75

Aonde - h será o nosso h 1 - 170 5 e h será o nosso h 2 - 170 5

Então, vamos encontrar esse h , para isso, faremos:

P - h < Z < h = P Z < h - P Z < - h

= ϕ h - 1 - ϕ h

= 2 ϕ h - 1

E queremos que esse cara aí tenha o valor de 75 % , logo:

2 ϕ h - 1 = 0,75

2 ϕ h = 0,75 + 1

ϕ h = 1,75 2

ϕ h = 0,875

Olhando para a tabela normal, iremos encontrar que o valor que possui a probabilidade 0,875 é de aproximadamente:

h = 1,15 → ϕ 1,15 ≅ 0,875

Ou seja,

h 1 - 170 5 = - h

h 1 - 170 5 = - 1,1503 → h 1 = 164,25

E

h 2 - 170 5 = h

h 2 - 170 5 = 1,1503 → h 2 = 175,75

Logo, o intervalo que responde à alternativa é:

164,25 < X < 175,75

Resposta

a 84,13 %   s e r ã o   m a i o r e s   q u e   165 c m ,   u m   t o t a l   d e   8413   a l u n o s .

b 164,25 < X < 175,75

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