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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 48

. Uma amostra de 300 adultos residentes em área urbana de um estado específico revelou que 63 favoreceram o aumento do limite de velocidade nas estradas de 55 para 65 mph, enquanto uma amostra de 180 habitantes rurais mostrou que 75 favoreceram o mesmo aumento. Esses dados indicam que a opinião sobre o aumento do limite de velocidade é diferente para os dois grupos de habitantes? a. Teste H0: p1 p2 versus Ha: p1 p2 usando 0,05, onde p1 refere-se à população urbana. b. Se as proporções reais que favorecem o aumento são realmente p1 0,20 (urbano) e p2 0,40 (rural), qual é a probabilidade de H0 ser rejeitada usando-se um teste nível 0,05 com m 300, n 180?

Passo 1

Dado:

m = T a m a n h o   d a   a m o s t r a = 300

n = T a m a n h o   d a   a m o s t r a = 180

x 1 = N u m e r o   d e   s u c e s s o s = 63

x 2 = N u m e r o   d e   s u c e s s o s = 75

α = N i v e l   d e   s i g n i f i c a n c i a = 0.05

  1. Reivindicação dada: Diferença nas proporções

    2. A afirmação é a hipótese nula ou a hipótese alternativa. A hipótese nula afirma que as proporções da população são iguais. Se a hipótese nula é a afirmação, então a hipótese alternativa afirma o oposto da hipótese nula.

    H 0 : p 1 = p 2

    H a   : p 1 ≠ p 2

    A proporção da amostra é o número de sucessos dividido pelo tamanho da amostra:

    p 1 ^ = x 1 n 1 = 63 300 ≈ 0.21

    p 2 ^ = x 2 n 2 = 75 180   ≈ 0.4167

    p ^ = x 1 + x 2 n 1 + n 2 = 6 + 75 300 + 180 = 138 480 ≈ 0.2875

    Determine o valor da estatística de teste:

    z = p 1 ^ - p 2 ^ - ∆ 0 p ^ 1 - p ^ 1 m + 1 n = 0.21 - 0.4167 - 0 0.2875 1 - 0.2875 1 300 + 1 80 ≈ - 4.84

    Passo 2

    Se a hipótese alternativa H a contém

    Se a hipótese alternativa H a contém >, então o teste é de cauda direita.

    Se a hipótese alternativa H a contém ≠ , então o teste é bicaudal.

    Teste bicaudal

    O valor P é a probabilidade de se obter um valor mais extremo ou igual à estatística de teste padronizada z, assumindo que a hipótese nula é verdadeira.

    Como o teste é bicaudal, o valor P é a probabilidade de que o z-score seja menor que z = - 4.84 ou maior que z = 4.84 .

    P z <   - 4.84   o u   z > 4.84

    Determine a probabilidade correspondente usando a tabela de probabilidade normal no apêndice. A probabilidade P ( z < - 4 . 84 ) é aproximadamente 0, pois z = - 4 , 84 é menor que todos os z-scores na tabela.

    P = P   z <   - 4.84     o u   Z > 4.84   = 2 P   Z <   - 4.84 ≈ 2 0 = 0

    Se o valor P for menor que o nível de significância \alphaα, então a hipótese nula é rejeitada.

    0 < 0.05   → R e j e i t a r   H 0

    Há evidências suficientes para sustentar a afirmação de que o sentimento de aumento do limite de velocidade é diferente para os dois grupos de moradores.

    Passo 3

  2. p 1 = P r o p o r ç ã o   d a   p o p u l a ç ã o = 0.20

p 2 = P r o p o r ç ã o   d a   p o p u l a ç ã o = 0.40

Erro tipo II de probabilidade de fórmula:

Determine z α 2 = z 0 . 025   usando a tabela de probabilidade normal no apêndice (procure 0,025 na tabela, o z-score é então o z-score encontrado com sinal oposto):

z α 2 = 1.96

Use a fórmula do erro tipo II:

A potência é o complemento de β:

p o t ê n c i a = 1 -   β = 0.9962

Resposta

  1. Rejeitar H 0
  2. 0.9962 = 99.62 %

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