Enunciado
Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 54
Às vezes, os experimentos que utilizam respostas de sucesso ou fracasso são conduzidos de forma antes/ depois ou emparelhada. Suponha que, antes do principal discurso político de um candidato, n indivíduos são selecionados e questionados se favorecem (S) ou não (F) o candidato. Então, depois do discurso, é feita a mesma pergunta às mesmas n pessoas. As respostas podem ser inseridas em uma tabela como segue onde X1 X2 X3 X4 n. Sejam p1, p2, p3 e p4 as probabilidades das quatro células, de modo que p1 P(S antes e S depois), e assim por diante. Queremos testar a hipótese de que a proporção real de defensores (S) depois do discurso não aumentou contra a alternativa de que aumentou. a. Escreva as duas hipóteses de interesse em termos de p1, p2, p3 e p4. b. Construa um estimador para a diferença antes/depois nas probabilidades de sucesso. c. Quando n é grande, é possível mostrar que a va (Xi Xj )/n possui distribuição aproximadamente normal com variância dada por [pi pj (pi pj ) 2 ]/n. Use isso para construir uma estatística de teste com uma distribuição aproximadamente normal padronizada quando H0 é verdadeira (o resultado é chamado teste de McNemar). d. Se x1 350, x2 150, x3 200 e x4 300, a que conclusão você pode chegar?
Passo 1
- A probabilidade de que após o discurso as pessoas favoreçam o maior é a soma de e - ambas são as probabilidades correspondentes às células 1 e 3. A probabilidade de que antes do discurso as pessoas não favoreçam a maior é a soma de e - ambas são as probabilidades correspondentes às células 1 e 2. Isso ocorre porque a primeira coluna representa o sucesso para "depois" e a primeira linha representa a linha para o sucesso "antes".
- Cada célula na tabela representa o número de pessoas para o evento descrito correspondente, isso indica que usando esses dados você pode estimar as probabilidades. Há um total de nn indivíduos e. A partir disso, a estimativa de é simples
- Suponha que é verdade, portanto . Com base nas informações fornecidas, a variância do estimador fornecido em (b) é
as hipóteses de interesse .
que é obviamente a diferença depois/antes na estimativa de probabilidades de sucesso. No entanto, o estimador requer variáveis aleatórias e é
Passo 2
Que é, para
O desvio padrão é
que deve ser estimado com
Como o valor esperado é obviamente zero, e a variável aleatória
tem distribuição aproximadamente normal com média do parâmetro 0 e desvio padrão σ, você pode construir a estatística Z como
que tem distribuição normal padrão.
Passo 2
as hipóteses de interesse são versus , e o valor da estatística de teste Z é
O teste é unilateral, superior, portanto, o valor de P é a área sob a curva normal padrão à direita de z. Portanto, o valor de P é
onde o valor pode ser obtido na tabela do apêndice. Dependendo do nível de significância, a conclusão pode mudar. No nível de significância ou que normalmente são usados, porque
rejeitar hipótese nula
. No entanto, você não pode rejeitar outros níveis de significância.
Resposta
- as hipóteses de interesse .
- Rejeitar a hipótese nula