Às vezes, os experimentos que utilizam respostas de sucesso ou fracasso são conduzidos de forma antes/ depois ou emparelhada. Suponha que, antes do principal discurso político de um candidato, n indivíduos são selecionados e questionados se favorecem (S) ou não (F) o candidato. Então, depois do discurso, é feita a mesma pergunta às mesmas n pessoas. As respostas podem ser inseridas em uma tabela como segue onde X1 X2 X3 X4 n. Sejam p1, p2, p3 e p4 as probabilidades das quatro células, de modo que p1 P(S antes e S depois), e assim por diante. Queremos testar a hipótese de que a proporção real de defensores (S) depois do discurso não aumentou contra a alternativa de que aumentou. a. Escreva as duas hipóteses de interesse em termos de p1, p2, p3 e p4. b. Construa um estimador para a diferença antes/depois nas probabilidades de sucesso. c. Quando n é grande, é possível mostrar que a va (Xi Xj )/n possui distribuição aproximadamente normal com variância dada por [pi pj (pi pj ) 2 ]/n. Use isso para construir uma estatística de teste com uma distribuição aproximadamente normal padronizada quando H0 é verdadeira (o resultado é chamado teste de McNemar). d. Se x1 350, x2 150, x3 200 e x4 300, a que conclusão você pode chegar?

Passo 1

  1. A probabilidade de que após o discurso as pessoas favoreçam o maior é a soma de p 1 e p 3 - ambas são as probabilidades correspondentes às células 1 e 3. A probabilidade de que antes do discurso as pessoas não favoreçam a maior é a soma de p 1 e p 2 - ambas são as probabilidades correspondentes às células 1 e 2. Isso ocorre porque a primeira coluna representa o sucesso para "depois" e a primeira linha representa a linha para o sucesso "antes".
  2. D e   $ p 1 +   p 3 =   p 1 +   p 2 $ ,   q u e   s e r i a   a   h i p ó t e s e   n u l a

    as hipóteses de interesse H 0   : p 3 = p 2   v s   H a   : p 3 > p 2 .

  3. Cada célula na tabela representa o número de pessoas para o evento descrito correspondente, isso indica que usando esses dados você pode estimar as probabilidades. Há um total de nn indivíduos e   x 1 +   x 2 +   x 3 + x 4 =   n . A partir disso, a estimativa de p 1 +   p 3 –   p 1 +   p 2 é simples
  4. x 1 + x 3 - x 1 + x 2 n = x 3 - x 2 n

    que é obviamente a diferença depois/antes na estimativa de probabilidades de sucesso. No entanto, o estimador requer variáveis ​​aleatórias e é

    X 3 - X 2 n

    Passo 2

  5. Suponha que H 0 é verdade, portanto p 3 = p 2 . Com base nas informações fornecidas, a variância do estimador fornecido em (b) é

V a r   X 3 - X 2 n = p 2 + p 3 - p 2 - p 3 2 n

Que é, para p 3 = p 2

V a r   X 3 - X 2 n = p 3 + p 2 n

O desvio padrão é

σ = p 3 + p 2 n

que deve ser estimado com

σ ^ = p 3 ^ + p 2 ^ n

Como o valor esperado é obviamente zero, e a variável aleatória

X 3 - X 2 n

tem distribuição aproximadamente normal com média do parâmetro 0 e desvio padrão σ, você pode construir a estatística Z como

Z = X 3 - X 2 n p 3 ^ + p 2 ^ n = X 3 - X 2 X 3 + X 2

que tem distribuição normal padrão.

Passo 2

as hipóteses de interesse são H 0 :   p 3 =   p 2 versus H a :   p 3 > p 2 , e o valor da estatística de teste Z é

z = X 3 - X 2 X 3 + X 2 = 200 - 150 200 + 150 = 2.68

O teste é unilateral, superior, portanto, o valor de P é a área sob a curva normal padrão à direita de z. Portanto, o valor de P é

P = P   Z > 2.68 = 1 - P   Z   ≤ 2.68 = 1 - Φ 2.68 = 0.0037

onde o valor Φ . pode ser obtido na tabela do apêndice. Dependendo do nível de significância, a conclusão pode mudar. No nível de significância 0.010 ou 0 . 05 que normalmente são usados, porque

P = 0.0037 < 0.01 < 0.05

rejeitar hipótese nula

. No entanto, você não pode rejeitar outros níveis de significância.

Resposta

  1. as hipóteses de interesse H 0   : p 3 = p 2   v s   H a   : p 3 > p 2 .
  2. X 3 - X 2 n
  3. Z = X 3 - X 2 X 3 + X 2
  4. Rejeitar a hipótese nula

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