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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 11

Uma amostra aleatória de tamanho n=16 é selecionada de uma população normal, com uma média de 75 e um desvio padrão de 8. Uma segunda amostra aleatória de tamanho n2=9 é retirada de uma outra população normal, com média 70 e desvio padrão 12. Sejam X1 e X2 duas médias amostrais. Encontre.

  1. A probabilidade de X1 - X2 exceder 4.
  2. A probabilidade de 3.5

Passo 1

Temos dois dados separados para dois tipos de observação:

n 1 = 16

μ 1 = 75

σ 1 = 8

e

n 2 = 9

μ 2 = 70

σ 2 = 12

Então,

( X 1 _ - X 2 _ ) ≈ N ( μ X _ 1 - μ X 2 _ ,   σ 2 X 1 _ + σ 2 X 2 _ )

≈ N ( μ 1 - μ 2 ,   σ 2 1 n 1 + σ 2 2 n 2 )

≈ N 75 - 70 ,   8 2 16 + 1 2 2 9 ∼ N ( 5,20 )

Passo 2

Letra a:

Vamos calcular a probabilidade de que X 1 _ - X 2 _ exceda 4.

P [ X 1 _ - X 2 _ > 4 ] = P ( X _ 1 - X _ 2 ) - μ σ > 4 - μ σ

= P Z > 4 - 5 20

= P [ Z >   - 0.2236 ] = Φ ( 0.2236 ) = 0.5885

Passo 3

Letra b:

Vamos calcular a probabilidade de 3.5 ≤ X 1 _ - X 2 _ ≤ 5.5 .

P [ 3.5 < X 1 _ - X 2 _ < 5.5 ] = P 3.5 - μ σ < ( X 1 _ - X 2 _ ) - μ σ > 5.5 - μ σ

= P 3.5 - 5 20 < Z < 5.5 - 5 20

= P [ - 0.3354 < Z < 0.1118 ] = Φ ( 0.1118 ) - Φ ( - 0.3354 )

= Φ ( 0.1118 ) - 1 + Φ ( 0.3354 ) = 0.547758 - 1 + 0.633072 = 0.18

Resposta

  1. 0.5885
  2. 0.18
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