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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 10.Exercícios - Ex. 10

Em uma ANOVA de fator único com I tratamentos e J observações por tratamento, considere

  1. Expresse E ( X . . ) - em função de μ = 1 I
  2. Expresse E ( X i 2 ) -
  3. Calcule
  4. Calcule
  5. Usando o resultado da parte ( d ) , quanto vale E(QMTr) quando H 0 for verdadeiro? Quando H 0 for falso, quanto vale E(QMTr) comparado com σ ² ?

Passo 1

  1. O valor esperado de X - . . é

    2. E X - . . = E 1 I J ∑ i = 1 I ∑ j = 1 J X i j = E 1 I ∑ i = 1 I 1 J ∑ j = 1 J X i j = E 1 I ∑ i = 1 I X - i

  2. O seguinte é verdadeiro

    3. Passo 2

  3. O seguinte é verdadeiro

  4. O SSTr é dado por

    5. Passo 3

    Usando isso e o fato de que

    M S T r = 1 I - 1 S S T r ;

    O valor esperado é

    E M S T r = E 1 I - 1 S S T r = 1 I - 1 E S S T r

    = 1 I - 1 [ I - 1 σ 2 + J ( ∑ i = 1 I ( μ i - μ ) ² ) ]

    = σ 2 + J I - 1 ∑ i = 1 I μ i - μ 2

  5. As hipóteses de interesse são

H 0   :   μ i = μ j ,   i ≠ j

Versus a hipótese alternativa

H a   : p e l o   m e n o s   d u a s   d a s   μ i   s ã o   d i f e r e n t e s

Assumindo que H 0 é verdadeiro, então μ 1 = μ 2 = … = μ e por causa disso que

∑ i = 1 I μ i - μ 2 = 0

Substituindo isso, você obtém

E M S T r =   σ 2

Suponha que H a é verdade. Isso indica que existe i para o qual

μ i -   μ 2 > 0

E por conta disso

∑ i = 1 I μ i - μ 2 > 0

de onde podemos concluir que

E M S T r =   σ 2 + J I - 1 ∑ i = 1 I μ i - μ 2 > 0

Comparado com σ², os valores esperados são maiores.

Resposta

Ver o desenvolvimento.

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