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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 2

Quando um automóvel é parado por uma patrulha de segurança, os pneus são verificados quanto ao desgaste, assim como o alinhamento de cada farol. Seja X o número de faróis que precisam de ajuste e Y o número de pneus com defeito.

a. Se X e Y são independentes com p X 0 = 0,5 , p X 1 = 0,3 , p X 2 = 0,2 , e p Y 0 = 0,6 , p Y 1 = 0,1 , p Y 2 = p Y 3 = 0,05 , p Y 4 = 0,2 , mostre que fmp conjunta de ( X ,   Y ) em uma tabela de probabilidade conjunta.

b. Calcule P ( X ≤ 1 e Y ≤ 1 ) pela tabela de probabilidade conjunta e verifique se ela é igual ao produto P X ≤ 1 . P ( Y ≤ 1 ) .

c. Qual é P ( X + Y = 0 ) (a probabilidade de nenhuma violação)?

d. Calcule P ( X + Y ≤ 1 ) .

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Para resolvermos o exercício abaixo usamos a equação a seguir:

p x ,   y = p X x . p Y ( y )

Quer dizer, então, que para definirmos a tabela basta realizarmos o produto definido acima e encontrarmos seus valores.

E para realizarmos o resto da questão usaremos a tabela que vamos construir na letra (a). Bora lá!!!

Passo 2

Aqui, vamos usar os valores dados pelo enunciado na letra (a) para definir a tabela.

Calculando a tabela para y ∈ 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 e x = 0 .

p 0 ,   0 = p X 0 . p Y 0 = 0,3

p 0 ,   1 = p X 0 . p Y 1 = 0,05

p 0 ,   2 = p X 0 . p Y 2 = 0,025

p 0 ,   3 = p X 0 . p Y 3 = 0,025

p 0 ,   4 = p X 0 . p Y 4 = 0,3

Calculando a tabela para y ∈ 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 e x = 1 .

p 1 ,   0 = p X 1 . p Y 0 = 0,18

p 1 ,   1 = p X 1 . p Y 1 = 0,03

p 1 ,   2 = p X 1 . p Y 2 = 0,015

p 1 ,   3 = p X 1 . p Y 3 = 0,015

p 1 ,   4 = p X 1 . p Y 4 = 0,06

Calculando a tabela para y ∈ 0 ,   1 ,   2 ,   3 ,   4 e x = 2 .

p 2 ,   0 = p X 2 . p Y 0 = 0,15

p 2 ,   1 = p X 2 . p Y 1 = 0,02

p 2 ,   2 = p X 2 . p Y 2 = 0,01

p 2 ,   3 = p X 2 . p Y 3 = 0,01

p 2 ,   4 = p X 2 . p Y 4 = 0,04

Portanto, nossa tabela fica:

Passo 3

Usando a tabela para calcular P ( X ≤ 1 e Y ≤ 1 ).

P X ≤ 1   e   Y ≤ 1 = p 0 ,   0 + p 0 ,   1 + p 1 ,   0 + p ( 1 ,   1 )

= 0,3 + 0,05 + 0,18 + 0,03

= 0,56

Calculando o produto P X ≤ 1 . P ( Y ≤ 1 ) .

P X ≤ 1 . P Y ≤ 1 = 0,8 . 0,7 = 0,56

Achamos o mesmo resultado, quer dizer que a varáveis são independentes.

Passo 4

Usando a tabela para encontrar a probabilidade de nenhuma violação P ( X + Y = 0 ) .

P X + Y = 0 = p 0 ,   0 = 0,3

Passo 5

Por fim, calculando P ( X + Y ≤ 1 ) .

P X + Y ≤ 1 = p 0 ,   0 + p 0 ,   1 + p ( 1 ,   0 )

= 0,3 + 0,05 + 0,18

= 0,53

Resposta

  1. Resolução no Passo 2.

  2. P X ≤ 1   e   Y ≤ 1 = 0,56 .

  3. P X + Y = 0 = 0,3 .

  4. P X + Y ≤ 1 = 0,53 .

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