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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 22

Um instrutor fez perguntas curtas que consistem de duas partes. Para um estudante selecionada aleatoriamente, seja X = o número de pontos ganhos na primeira parte e Y = o número de pontos ganhos na segunda. Suponha que a fmp conjunta de X e Y seja dada na tabela a seguir.

a. Se a pontuação constante do boletim for o número total de pontos ganhos nas duas partes, qual é a pontuação registrada esperada E ( X + Y ) ?

b. Se o máximo de duas pontuações for registrado, qual é a pontuação registrada esperada?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? O valor esperado para uma variável aleatória g ( X ,   Y ) pode ser calculado da seguinte forma:

E g ( X ,   Y ) = ∑ x ∑ y g ( x , y ) ∙ p ( x , y ) ∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ g ( x , y ) ∙ f ( x , y ) d x d y

Onde, o somatório é para X e Y discretos, e as integrais X e Y contínuos.

Agora já podemos calcular os valores esperados que o enunciado nos pede. Bora lá!!

Passo 2

Para o caso de g X ,   Y = X + Y , e as variáveis aleatórias são discretas, temos:

E X + Y = ∑ x ∑ y g ( x , y ) ∙ p ( x , y )

= 0 + 0 ∙ 0,02 + 0 + 5 ∙ 0,06 + … + 10 + 10 ∙ 0,14 + ( 10 + 15 ) ∙ 0,01

= 14,1

Passo 3

Agora, estamos interessados na expectativa da variável aleatória. Logo, iremos trabalhar com

g X , Y = m a x ( X ,   Y ) .

E m a x ( X ,   Y ) = ∑ x ∑ y g ( x , y ) ∙ p ( x , y )

= max ⁡ 0 ,   0 ∙ 0,02 + max ⁡ 0 ,   5 ∙ 0,06 + … + max ⁡ 10 ,   10 ∙ 0,14 + max ⁡ 10,15 ∙ 0,01

= 0 ∙ 0,02 + 5 ∙ 0,06 + … + 10 ∙ 0,014 + 15 ∙ 0,01

= 9,6

Resposta

  1. E X + Y = 14,1

  2. E m a x ( X ,   Y ) = 9,6

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