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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 67

67.

Os autores do artigo “A Probabilistic Insulation Life Model for Combined Thermal-Electrical Stresses” (IEEE Trans. on Elect. Insulation, 1985, p. 519-522) declararam que “a distribuição de Weibull é largamente usada em problemas estatísticos relativos ao desgaste de materiais isolantes sólidos sujeitos ao desgaste e à tensão”. Eles propõem o uso da distribuição como um

modelo para tempo (em horas) de falha de amostras de isolantes sólidos sujeitos a voltagem de AC. Os valores dos parâmetros dependem da voltagem e da temperatura. Suponha que α = 2,5 e β = 200 (valores sugeridos pelos dados no artigo)

a. Qual é a probabilidade de o tempo de vida de um espécime ser no máximo 250? Inferior a 250? Maior de 300?

b. Qual é a probabilidade de o tempo de vida de uma amostra estar entre 100 e 250?

c. Que valor faz com que 50% de todas as amostras tenham tempos de vida que excedam o valor?

Passo 1

Fala gente boa! Tudo bem com vocês? Vamos fazer mais um exercício.

Uma variável aleatória X tem distribuição de Weibull com parâmetros α   e   β ( α > 0 ,   β > 0 ) se a fdp de X for:

f x ; α ,   β = α β α x α - 1 e - ( x β ) α       x ≥ 0 0                                                         x < 0

Resposta

a.

P X ≤   250 =   F 250 ; 2.5 ,   200 =   1 - e - 250 200 2 ≈     0 , 825 7

P X > 300 = 1 -   F 250 ; 2.5 ,   200 =   e - 250 200 2 = 0,0636

b .

P 100 ≤ X ≤ 250 = F 250 ; 2.5 ,   200 -   F 100 ; 2.5 ,   200 ≈ 0,8257 - 0,162 = 0,6637

c.

A   m e d i a n a     μ   ~ é   r e q u e r i d a .   P a r a   a   e q u a ç ã o   F μ   ~ = 0,5   r e d u z i d a   a   0,5 =   - e - μ   ~ 20 0 2 , 5

e n t ã o :   ln ⁡ 0,5 =   - μ   ~ 200 2,5 →   μ   ~ = 0,6931 0,4 200 = 172,727 .

Valeu galera. Até a próxima!

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