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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios Suplementares - Ex. 92

A va binomial negativa X foi definida como o número de F’s antes do r-ésimo S. Seja Y = número de tentativas necessárias para obtenção do r-ésimo S. Da mesma forma que a fmp de X foi deduzida, deduza a fmp de Y.

Passo 1

Se houver r sucessos com probabilidade de sucesso p, a função de massa de probabilidade da variável aleatória binomial negativa X com parâmetros r e p, para x   ϵ   N

n b x ; r , p = x + r - 1 r - 1 p r 1 - p x

Seja Y a variável aleatória descrita e defina

S y = y   t e n t a t i v a s   n e c e s s á r i a s   p a r a   o b t e r   r t h   s u c e s s o

F y = y   f a l h a s   a n t e r i o r e s   a o   r t h   s u c e s s o

p y = P Y = y = P S y = P F y - r

= n b y - r ; r , p = y - r + r - 1 r - 1 p r 1 - p y - r ,   y   ϵ   r , r + 1 , r + 2 , …

Resposta

p y = y - r + r - 1 r - 1 p r 1 - p y - r ,   y   ϵ   r , r + 1 , r + 2 , …

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