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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 14.Exercícios - Ex. 19

Cada farol de automóvel passa por uma inspeção anual que pode ser classificada em muito alta ( H ) , muito baixa ( L ) ou apropriada ( N ) . Verificando os dois faróis simultaneamente (e nāo fazendo distinçāo entre esquerda e direita) os resultados sāo dados em seis possibilidades H H , L L , N N , H L , H N e L N . Se as probabilidades (proporçōes de populaçāo) para a única direçāo do foco do farol são P ( H ) = θ 1 , P ( L ) = θ 2 e P ( N ) = 1 - θ 1 - θ 2 e a classificaçāo dos dois faróis independem uma da outra, as probabilidades dos seis resultados para uma seleçāo aleatória de um carro sāo as seguintes:

p 1 = θ 1 2   p 2 = θ 2 2   p 3 = 1 - θ 1 - θ 2 2 p 4 = 2 θ 1 θ 2   p 5 = 2 θ 1 1 - θ 1 - θ 2 p 6 = 2 θ 2 1 - θ 1 - θ 2

Utilize os dados correspondentes para testar a hipótese nula

H 00 : p 1 = π 1 θ 1 , θ 2 , … , p 6 = π 6 θ 1 , θ 2

o n d e   o   π 1 θ 1 , θ 2   s   s ã o   d a d o s   p r e v i a m e n t e

(Sugestão: Escreva a função de verossimilhança como uma função de θ 1 e θ 2 , calcule o log natural e entāo calcule ∂ / ∂ θ 1 e ∂ / ∂ θ 2 , iguale-os a 0 e resolva para θ ˆ 1 , θ ˆ 2 .)

Passo 1

E aí pessoal partiu para mais uma questão de (probabilidade)? Abaixo começaremos trazendo algumas informações do enunciado:

Utilize os dados correspondentes para testar a hipótese nula

H 00 : p 1 = π 1 θ 1 , θ 2 , … , p 6 = π 6 θ 1 , θ 2

o n d e   o   π 1 θ 1 , θ 2   s   s ã o   d a d o s   p r e v i a m e n t e

Com A = 2 n 1 + n 4 + n 5 ,   B = 2 n 2 + n 4 + n 6 , and C = 2 n 3 + n 5 + n 6 , a probabilidade é proporcional a θ 1 A θ 2 B 1 - θ 1 - θ 2 C , em que A + B + C = 2 n . Tomando o logaritmo natural e igualando ambos ∂ ∂ θ 1 e ∂ ∂ θ 2 para zero dá A θ 1 = C 1 - θ 1 - θ 2 e B θ 2 = C 1 - θ 1 - θ 2 , em que θ 2 = B θ 1 A .

Passo 2

Substituindo isso na primeira equação θ 1 = A A + B + C , e portanto θ 2 = B A + B + C . Assim θ ˆ 1 = 2 n 1 + n 4 + n 5 2 n , θ ˆ 2 = 2 n 2 + n 4 + n 6 2 n , e 1 - θ ˆ 1 - θ ˆ 2 = 2 n 3 + n 5 + n 6 2 n . Substituindo n 1 's produz θ ˆ 1 = 2 ( 49 ) + 20 + 53 400 = . 4275 , θ ˆ 2 = 110 400 = . 2750 , e 1 - θ ˆ 1 - θ ˆ 2 = . 2975 , da qual p ˆ 1 = ( . 4275 ) 2 = . 183 , p ˆ 2 = . 076 , p ˆ 3 = . 089 , p ˆ 4 = 2 ( . 4275 ) ( . 275 ) = . 235 , p ˆ 5 = . 254 , p ˆ 6 = . 164 .

Isso dá χ 2 = 29.1 . With χ . 01,6 - 1 - 2 2 = χ . 01,3 2 = 11.344 , and χ . 01,6 - 1 2 = χ . 01,5 2 = 15.085 , de acordo com (14.15) H o deve ser rejeitado uma vez que 29.1 ≥ 15.085 .

Resposta

H o deve ser rejeitado uma vez que 29.1 ≥ 15.085 .

Espero que tenham aprendido com essa questão, até a próxima !

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