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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 4.Exercícios Suplementares - Ex. 110

O artigo “Response of SiCf /Si3N4, Composites Under Static and Cyclic Loading — An Experimental and Statistical Analysis” (J. of Engr. Materials and Technology, 1997, p. 186-193) sugere que a resistência à tração (MPa) de compostos em condições específicas pode ser modelada por uma distribuição de Weibull com 9 e 180. a. Desenhe o gráfico da função de densidade. b. Qual é a probabilidade de a resistência de um espécime selecionado aleatoriamente exceder 175? Estar entre 150 e 175? c. Se dois espécimes selecionados aleatoriamente forem escolhidos de forma independente, qual será a probabilidade de ao menos um ter uma resistência entre 150 e 175? d. Que valor de resistência separa os 10% mais fracos de todos os espécimes dos 90% restantes?

Passo 1

Seja X=componente vitalício

X tem distribuição exponencial com parâmetro λ

  1. A média da distribuição exponencial é a recíproca do parâmetro λ .

    2. E X = 1 λ

    Quando o custo de operação por unidade de tempo é c, então o custo total do componente ao longo de sua vida útil é cX.

    O valor esperado do produto de alguma constante e uma variável aleatória é o produto da constante e o valor esperado da variável aleatória:

    E c X = c E X = c ∙ 1 λ = c λ

    Assim, o custo esperado de operação deste componente ao longo de sua vida útil é c λ

    Passo 2

  2. Quando o custo de operação por unidade de tempo é c 1 - 0.5 e a x , então o custo total do componente ao longo de sua vida útil é c 1 - 0.5 e a X X

Função de densidade de probabilidade exponencial da fórmula

f x = λ e - λ x ,   x ≥ 0

O valor esperado (ou média) é a integral do produto de cada possibilidade x com a função densidade de probabilidade f(x).

E c 1 - 0.5 a X X

= ∫ - ∞ + ∞ c 1 - 0.5 e a x f x d x

= ∫ 0 + ∞ c 1 - 0.5 e a x λ e - λ x d x

= c ∫ 0 + ∞ λ e - λ x d x - 0.5 c λ ∫ 0 + ∞ e - λ - a x d x

= c ∙ 1 - 0.5 c λ λ - a ∙ 1

= c - 0.5 c λ λ - a

Assim, o custo esperado de operação deste componente ao longo de sua vida útil é = c - 0.5 c λ λ - a

Resposta

  1. c λ
  2. c - 0.5 c λ λ - a

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