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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 32

Se X ~N(μ, σ²), calcular E(X) e Var(X).

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para dizer qual a média e a variância a partir da distribuição normal. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser fazer a transformação de variáveis

x = mu + sigma t

d x = sigma d y

E (X) = (mu)/(sqrt(2 pi)) int e^((t^2)/(2)) d t + (sigma)/(sqrt(2 pi)) int t e^(- (t^2)/(2)) d t

E (X) = mu xx int (1)/(sqrt(2 pi)) e^((t^2)/(2)) d t + sigma int (1)/(sqrt(2 pi)) t e^(- (t^2)/(2)) d t

Em uma distribuição t ~N(0,1), temos que:

int (1)/(sqrt(2 pi)) e^((t^2)/(2)) d t = 1

Se fizermos que:

Temos que a segunda integral se anula, nos deixando apenas com:

E (X) = mu

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituirmos os valores e calcularmos a variância!!

V a r (X) = E (X^2) - [E (X)]^2

E (X^2) = int x^2 f (x) d x

E (X^2) = sigma^2 + mu^2

V a r (X) = sigma ²

Resposta

E (X) = mu

V a r (X) = sigma ²

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