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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 52

Colesterol é uma substância gordurosa que é uma parte importante da ligação (membrana) externa das células do corpo de animais. Sua faixa normal para um adulto é 120-240mg/dl. O instituto de Alimentos e Nutrição das Filipinas (The Food and Nutrition Institute of the Philippines) encontrou que o nível de colesterol total para adultos filipinos tem uma média de 159.2mg/dl e 84.1% de adultos têm um nível de colesterol abaixo de 200mg/dl. Suponha que o nível de colesterol total seja distribuído normalmente.

  1. Determine o desvio-padrão dessa distribuição.
  2. Quais são os quartis (os valores de 25% e 75%) dessa distribuição?
  3. Qual é o valor do nível de colesterol que excede 90% da população?
  4. Um adulto tem um nível moderado de risco se o nível de colesterol for mais do que um, porém menos de dois desvios-padrão acima da média. Qual é a porcentagem da população que tem risco moderado de acordo com esse critério?
  5. Um adulto tem alto risco se seu nível de colesterol for mais do que dois desvios-padrão acima da média. Qual é a porcentagem da população que tem alto risco?
  6. Um adulto tem baixo risco se seu nível de colesterol for um desvio-padrão ou mais baixo do que a média. Qual é a porcentagem da população que tem baixo risco?

Passo 1

Seja X a variável aleatória normal com a média de 159.2 e desvio padrão σ .

Em seguida, introduzimos a variável aleatória Z da seguinte forma:

Z = X - 159.2 σ

Seja Z a variável aleatória normal padrão com a função de distribuição cumulativa Φ dada nas tabelas dos apêndices do livro.

Passo 2

Na letra a:

Nos é dado que:

0.841 = P ( X ≤ 200 ) = P ( Z ≤ 200 - 159.2 σ ) = Φ ( 40.8 σ )

Usando a tabela III, nós obtemos:

40.8 σ ≈ 1

O que nos leva a:

σ ≈ 40.8

Passo 3

Na letra b:

Vamos escrever a seguinte equação:

0.25 = P ( X < x 1 ) = P ( Z < x 1 - 159.2 40.8 ) = Φ ( x 1 - 159.2 40.8 )

E a partir das tabelas nós temos:

x 1 - 159.2 40.8 = - 0.675

Resolvendo para encontrar x 1 :

x 1 = 131.66

Analogamente:

0.75 = P ( X < x 2 )

x 2 = 186.74

Passo 4

Na letra c:

Vamos escrever a seguinte equação:

0.9 = P ( X < x 3 ) = P ( Z < x 3 - 159.2 40.8 ) = Φ ( x 3 - 159.2 40.8 )

E a partir das tabelas nós temos:

x 3 - 159.2 40.8 = 1.29

Resolvendo para encontrar x 3 :

x 3 = 211.832

Passo 5

Na letra d:

P ( μ + σ < X < μ + 2 σ ) = P ( 1 < Z < 2 ) = Φ ( 2 ) - Φ ( 1 ) = 0.1359

Passo 6

Na letra e:

P ( X > μ + 2 σ ) = P ( Z > 2 ) = 1 - Φ ( 2 ) = 0.02275

Passo 7

Na letra f:

P ( X < μ - σ ) = P ( Z < - 1 ) = Φ ( - 1 ) = 0.1587

Resposta

  1. 40.8
  2. 131.66 e 186.74
  3. 211.832
  4. 0.1359
  5. 0.02275
  6. 0.1587
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