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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 6.Exercícios Suplementares - Ex. 38

Todos os n espécimes serão pesados duas vezes na mesma escala. Represente por X i e Y i os dois pesos observados do i-ésimo espécime. Suponha que X i e Y i sejam independentes entre si, cada um normalmente distribuído com valor médio μ i (o peso real do espécime i) e variância σ 2 .

a. Mostre que o estimador de máxima verossimilhança de σ 2 é σ ˆ 2 = ∑ X i - Y i 2 / ( 4 n ) . [Sugestão: se z ‾ = z 1 + z 2 / 2 , então, ∑ z i - z ‾ 2 = z 1 - z 2 2 / 2 .]

b. A emv σ ˆ 2 é um estimador não-tendencioso de σ 2 ? Determine um estimador não-tendencioso de σ 2 . [Sugestāo: para qualquer va Z , E Z 2 = V ( Z ) + [ E ( Z ) ] 2 . Aplique a equação em Z = X i - Y i . ]

Passo 1

a. A probabilidade é ∏ i = 1 n   1 2 π σ 2 e - x i - μ i 2 σ 2 ⋅ 1 2 π σ 2 e - y i - μ i 2 σ 2 = 1 2 π σ 2 n e - I x i - μ i 2 + σ i - μ i 2 2 σ 2 . A probabilidade logarítmica é, então - n l n ⁡ 2 π σ 2 - Σ x i - μ i 2 + Σ y i - μ i 2 2 σ 2 . Tomando d d μ i e igualando a zero, dá μ ^ i = x i + y i 2 . Substituindo essas estimativas dos μ ˆ i   ' s no log, a probabilidade dá - n ln ⁡ 2 π σ 2 - 1 2 σ 2 ∑   x i - x i + y i 2 2 + ∑   y i - x i + y i 2 2 = - n l n ⁡ 2 π σ 2 - 1 2 σ 2 1 2 Σ x i - y i 2 . Agora tomando d d σ 2 , igualando a zero, e resolvendo para σ 2 dá o resultado desejado.

Passo 2

b. E ( σ ˆ ) = 1 4 n E Σ X i - Y i 2 = 1 4 n ⋅ Σ E X i - Y 2 , but E X i - Y 2 = V X i - Y + E X i - Y 2 = 2 σ 2 + 0 = 2 σ 2 . Então E σ ˆ 2 = 1 4 n Σ 2 σ 2 = 1 4 n 2 n σ 2 = σ 2 2 , então o mle definitivamente não é imparcial; o valor esperado do estimador é apenas metade do valor do que está sendo estimado!

Resposta

a . . Agora tomando d d σ 2 , igualando a zero, e resolvendo para σ 2 dá o resultado desejado.

b. o valor esperado do estimador é apenas metade do valor do que está sendo estimado!

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Um estimador θ é dito ser consistente se para qualquer ϵ ˆ0 , P ( | θ ˆ - θ | ≥ ϵ ) ↔ 0 quando n ↔ ∞ . Isto é, θ ˆ é consistente se, à medida que o tamanho da amostra aumenta, menor é a probabilidade
Seja X 1 , … , X n a amostra aleatória de uma fdp que seja simétrica com relação a μ . Um estimador de μ considerado por realizar bem uma variedade de distribuições subjacentes é o estimador de Hodges
Consulte o Exercício 25. Suponha que decidamos examinar outra solda de ponto de teste. Seja X = a resistência de corte da solda. Use os dados fornecidos para obter a emv de P ( X ≤ 400 ) . [Sugestāo:
Dois sistemas diferentes de computador são monitorados durante um total de n semanas. Seja X i o número de falhas do primeiro sistema durante a i -ésima semana e suponha que os X i ' 's sejam independ