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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 37

Considere a distribuicao de Weibull

  1. Encontre a funcio verossimilhanca.baseado em uma amostra aleatoria de tamanho n.Encontre o logaritmo da verossimilhanca.
  2. Mostre quc o logaritmo da verossimilhanca e maximizado.resolvendo as equações
  3. Quais siio as complicacoes envolvidas na resolucao das duas equacoes do item(b)?

Passo 1

Letra a:

A função de probabilidade será o produto:

L ( β , δ ) = ∏ i = 1 n   β δ x i δ β - 1 e x p ⁡ - x i δ β = = e x p ⁡ - ∑ i = 1 n   x i δ β ∏ i = 1 n   β δ x i δ β - 1

e a função de log verossimilhança é:

l n ⁡ L ( β , δ ) = - ∑ i = 1 n   x i δ β + ∑ i = 1 n   l n ⁡ β δ x i δ β - 1 = = n l n ⁡ β δ + ( β - 1 ) ∑ i = 1 n   l n ⁡ x i δ - ∑ i = 1 n   x i δ β

Passo 2

Letra b:

A fim de provar o que precisamos, precisamos encontrar derivadas e igualá-las com 0. Portanto,

∂ ln ⁡ L β , δ ∂ β = n β + ∑ i = 1 n   l n ⁡ x i δ - ∑ i = 1 n   x i δ β ⋅ ln ⁡ x i δ ∂ l n ⁡ L ( β , δ ) ∂ δ = - n δ - ( β - 1 ) n δ + β ∑ i = 1 n   x i β δ β + 1

De

- n δ - ( β - 1 ) n δ + β ∑ i = 1 n   x i β δ β + 1 = 0

Temos δ :

β δ β + 1 ∑ i = 1 n   x i β = β n δ δ β n = ∑ i = 1 n   x i β δ = 1 n ∑ i = 1 n   x i β 1 / β

Passo 3

Quando substituirmos δ e igualarmos com zero a derivada parcial ∂ l n L ( β ,   δ ) ∂ β , obteremos o parâmetro β . Reorganize a derivada parcial primeiro:

∂ l n ⁡ L ( β , δ ) ∂ β = n β + ∑ i = 1 n   l n ⁡ x i - n l n ⁡ δ - 1 δ β ∑ i = 1 n   x i β l n ⁡ x i - l n ⁡ δ

Então, agora temos:

n β + ∑ i = 1 n   l n ⁡ x i - n β l n ⁡ 1 n ∑ i = 1 n   x i β - n ∑ i = 1 n   x i β l n ⁡ x i + n ∑ i = 1 n   x i β ∑ i = 1 n   x i β 1 β l n ⁡ 1 n ∑ i = 1 n   x i β = 0

quando dividimos com n e colocar tudo, exceto 1 / β no lado direito, obtemos

1 β = ∑ i = 1 n   x i β l n ⁡ x i ∑ i = 1 n   x i β - 1 n ∑ i = 1 n   l n ⁡ x i β

igualmente,

β = ∑ i = 1 n   x i β l n ⁡ x i ∑ i = 1 n   x i β - 1 n ∑ i = 1 n   l n ⁡ x i - 1

Passo 4

Letra c:

Para resolver essa equação você precisaria da Análise Numérica, para resolvê-la com iterações, o que é considerado uma complicação.

Resposta

  1. L β , δ = exp ⁡ - ∑ i = 1 n   x i δ β ∏ i = 1 n   β δ x i δ β - 1

    2. ln ⁡ L β , δ = nln ⁡ β δ + β - 1 ∑ i = 1 n   ln ⁡ x i δ - ∑ i = 1 n   x i δ β

  2. Ver resolução
  3. Ver resolução
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