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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 7.Exercícios - Ex. 15

Seja X,X.....,X,uma amostra alcatoria proveniente de uma populacao tendo media p e variancia o.Considere os seguintes estimadores de:

  1. Os dois estimadores sio nao-tendenciosos?
  2. Qual eo melhor estimador?Em que sentido elee melhor?Calcule a eficiencia relativa dos dois estimadores.

Passo 1

Sejam as variáveis ​​aleatórias X 1 ,   X 2 , . . . , X n uma amostra aleatória de uma população com média μ   e variância σ 2 .

Letra a:

Vamos verificar se os estimadores são tendenciosos ou não.

Θ 1 = X 1 + X 2 + ⋯ + X 7 7 Θ ^ 2 = 2 X 1 - X 6 + X 4 2

E Θ - 1 = E X 1 + X 2 + … + X 7 7 = 1 7 E X 1 + 1 7 E X 2 + … + 1 7 E X 7 = 1 7 μ + 1 7 μ + … + 1 7 μ = μ

Portanto, E Θ - 1 é um estimador imparcial de μ .

E Θ - 2 = E 2 X 1 - X 6 + X 4 2 = E X 1 - 1 2 E X 6 + 1 2 E X 4 = μ - 1 2 μ + 1 2 μ = μ

Portanto, E Θ - 2 é um estimador imparcial de μ .

Passo 2

Letra b:

Vamos determinar as variâncias dos estimadores.

A variância do estimador Θ ^ 1 :

V a r ⁡ Θ ^ 1 = V a r ⁡ X 1 + X 2 + … + X 6 + X 7 7 = 1 49 V a r ⁡ X 1 + 1 49 V a r ⁡ X 2 + … + 1 49 V a r ⁡ X 6 + 1 49 V a r ⁡ X 7 = 1 49 σ 2 + 1 49 σ 2 + 1 49 σ 2 + 1 49 σ 2 + 1 49 σ 2 + 1 49 σ 2 + 1 49 σ 2 = 1 7 σ 2

A variância do estimador Θ ^ 2 :

V a r ⁡ Θ ^ 2 = V a r ⁡ 2 X 1 - X 6 + X 4 2 = V a r ⁡ X 1 + 1 4 V a r ⁡ X 6 + 1 4 V a r ⁡ X 4 = σ 2 + 1 4 σ 2 + 1 4 σ 2 = 3 2 σ 2

O melhor estimador é aquele com uma menor variância porque é mais provável que produza uma estimativa próxima do valor verdadeiro μ .

Passo 3

Portanto, Θ ^ 1 é o melhor estimador.

Agora, vamos calcular a eficiência relativa dos dois estimadores.

M S E Θ ^ 2 M S E Θ ^ 1 = V Θ ^ 2 V Θ ^ 1 = 3 2 σ 2 1 7 σ 2 = 21 2

Resposta

  1. Ambos os estimadores são imparciais.
  2. O melhor estimador é aquele com menor variância, pois é mais provável que produza uma estimativa próxima do valor verdadeiro μ . Portanto, Θ ^ 1 é o melhor estimador. A eficiência relativa é 21 2 .
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