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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 24

Considere o Exercicio 9.23. Use o E Q M discutido no Exercício 9.21 para determinar qual estimador é mais eficiente. N a verdade, escreva

E Q M S 2 E Q M S ' 2 . 

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Considere dois estimadores s 2 e s v 2 da variância populacional σ 2 retirados de uma amostra aleatória de tamanho n , x 1 , x 2 , → x n que são os seguintes:

S 2 = ∑ i = 1 n     X i ‾ - X ‾ 2 n - 1   e   S 2 = ∑ i = 1 n     X i ‾ - X ‾ 2 n

De acordo com um teorema, se é a variância de uma S 2 amostra aleatória de tamanho n tomada de uma população normal com a variância σ 2 , então a estatística

x 2 = ( n - 1 ) s 2 σ 2

tem uma distribuição qui-quadrada com v = n - 1 graus de liberdade. Além disso, a média da distribuição qui-quadrada é n - 1 e a variância da distribuição é 2 ( n - 1 )

Passo 2

Já está provado que E S 2 = σ 2 indicando que S 2 é um estimador imparcial de σ 2 . Portanto, viés = 0 agora, considere

V s 2   = V σ 2 n - 1 x 2   = σ 2 2 ( n - 1 ) 2 V x 2   = σ 4 × 2 ( n - 1 ) ( n - 1 ) 2 V x 2 = 2 ( n - 1 )   = 2 σ 4 n - 1

Passo 3

Sabe-se que E S 2 = ( n - 1 ) n σ 2 . Sabemos que o viés em um estimador é a diferença entre o valor esperado do estimador e o parâmetro. Seja o estimador S 2 da variância populacional σ 2 Então, o viés no estimador é

E S 2 - a 2   = ( n - 1 ) n a 2 - a 2   = a 2 n - 1 n - 1   = a 2 n - 1 - n n   = σ 2 n

Assim, o viés de s 2 é o 2 n

Passo 4

Além disso, considere

V S 2 = V n 5 2   = V ( n - 1 ) S 2 n   J á  que   n S 2 = ( n - 1 ) S 2   = V n - 1 n × σ 2 n - 1 × x 2 X 2 = ( n - 1 ) S 2 σ 2 ⇒ S 2 = σ 2 ( n - 1 ) x 2   = σ 2 2 ( n ) 2 V x 2   V ( c X ) = c 2 V ( X )   = σ 4 × 2 ( n - 1 ) ( n ) 2 V χ 2 = 2 ( n - 1 )   = 2 ( n - 1 ) σ 4 n 2

Agora considere

M E E ⁡ s 2 M S E ⁡ s 2   = V S 2 + B i o s ⁡ S 2 2 V s 2 + B i a ⁡ s 2 2   = 2 σ 4 ( n - 1 ) + 0 2 ( n - 1 ) σ 4 n 2 + σ 2 n 2   = 2 n 2 ( n - 1 ) ( 2 n - 1 )

Tomando frações parciais, a fração acima pode ser escrita como

1 + 2 n - 1 - 1 2 n - 1

Ou seja, o valor da razão acima é maior do que sempre que n > 1 Ou seja, M S E ⁡ s 2 M S E ⁡ s 2 > 1 ⇒ M S E ⁡ s 2 > M E E ⁡ s 2 Elence, o é M A S S 2 menor indicando que é S 2 mais eficiente estimador em comparação com S 2 .

Resposta

Resposta nos passos.

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