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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 51

Considere um experimento que consiste em duas jogadas de um dado balanceado. Se X é o número de resultados quatro e Y é o número de resultados cinco obtidos em duas jogadas do dado, determine

(a) a distribuição de probabilidade conjunta de X e Y;

(b) P [ ( X ,   Y )   ∈ A ] , onde A é a região x ,   y 2 x + y < 3 } .

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Nós temos que X e Y são variáveis aleatórias discretas. Então, a função de massa de probabilidade conjunta p ( x ,   y ) é:

p x ,   y = P ( X = x ,   Y = y )

Para todo par ( x ,   y ) , onde p x ,   y ≥ 0 e ∑ x ∑ y p ( x , y ) = 1

Então, bora realizar a questão!!!

Passo 2

A função de massa de probabilidade conjunta das variáveis ​​aleatórias X e Y deve ser definida com base nas informações dadas no exercício. Aqui, X representa quantas vezes o número 4 foi obtido e   Y representa quantas vezes o número 5 foi obtido nas jogadas de dois dados.

Um dado balanceado tem 6 números - 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Como é balanceado, a probabilidade de obter qualquer combinação de números no dado é 1/36, pois são 6 times 6 ∙ 6 = 36 resultados possíveis, pois há dois dados. A forma de um resultado pode ser vista como a ,   b ,   a ,   b   ∈ { 1 ,   2 ,   3 ,   4 ,   5 ,   6 } .

Em seguida, a variável aleatória X ( Y ) pode assumir os valores 0, 1 e 2, pois em uma jogada pode ser 0 quatros (cinco), 1 quatro (cinco) ou 2 quatros (cinco). Outra restrição é que 0 ≤ x + y ≤ 2 , pois não pode haver 2 quatros e 2 cinco em um lançamento de dados.

Finalmente, para encontrar as probabilidades, deve-se escrever todos os resultados possíveis e contar quantos resultados pertencem ao caso particular. Digamos que uma meta seja obter p ( 1,1 ) . De todos os 36 resultados possíveis, os resultados ( 4,5 ) e ( 5,4 ) é o único resultado favorável/desejado. Portanto,

p x ,   y = p 1 ,   1 = 2 36 = 1 18

Da mesma forma, como há um total de 36 resultados, para x = 0 , y = 2 , e x = 2 , y = 0 também há apenas um resultado favorável. Desta forma,

p 0 ,   2 = p 2 ,   0 = 1 36

Os casos x = 0 , y = 1 , e x = 1 , y = 0 , tem 8 resultados favoráveis. Por exemplo, no caso x = 0 , y = 1 os resultados favoráveis são:

5 ,   1 ,   5 ,   2 ,   5 ,   3 ,   5 ,   6 , 1 ,   5 ,   2 ,   5 ,   3 ,   5 ,   6 ,   5

As outras probabilidades são calculadas de forma similar.

p 0,1 = p 1,0 = 8 36 = 2 9

p 0,0 = 16 36 = 4 8

Passo 3

O conjunto A do comentário deste exercício é { ( x , y ) | 2 x + y < 3 } . A condição restritiva é que 2 X + Y < 3 . Então, a probabilidade é:

P X ,   Y ∈ A = P 2 X + Y < 3

= p 0 ,   0 + p 0,1 + p 0 ,   2 + p ( 1 ,   0 )

= 4 9 + 1 9 + 1 36 + 2 9

P X ,   Y ∈ A = 11 12

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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