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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 14.Exercícios - Ex. 12

Considere uma grande população de famílias nas quais cada uma tem exatamente três crianças. Se os sexos das três crianças em qualquer família são independentes uns dos outros, o número de meninos em uma família selecionada aleatoriamente terá uma distribuição binomial baseada em três tentativas.

a. Suponha que uma amostra aleatória de 160 famílias produza os seguintes resultados. Teste a hipótese relevante procedendo como no Exemplo 14.5 .

b. Suponha que uma amostra aleatória de família em uma população não-humana tenha resultado em frequências observadas de 15,20,12 e 3 , respectivamente. O teste qui-quadrado poderia ser baseado no mesmo número de graus de liberdade do teste do item (a)? Explique.

Passo 1

E aí pessoal partiu para mais uma questão de (probabilidade)? Abaixo começaremos trazendo algumas informações do enunciado:

Suponha que uma amostra aleatória de 160 famílias produza os seguintes resultados. Teste a hipótese relevante procedendo como no Exemplo 14.5 .

a. Seja θ a probabilidade de um nascimento do sexo masculino (em oposição ao feminino) sob o modelo binomial. As quatro probabilidades de células (correspondentes a x = 0,1 , 2,3 ) são π 1 ( θ ) = ( 1 - θ ) 3 , π 2 ( θ ) = 3 θ ( 1 - θ ) 2 , π 3 ( θ ) = 3 θ 2 ( 1 - θ ) , e π 4 ( θ ) = θ 3 .A probabilidade é 3 n 2 + n 3 ⋅ ( 1 - θ ) 3 n 1 + 2 n 2 + n 3 ⋅ θ n 2 + 2 n 3 + 3 n 4 . Formando a probabilidade logarítmica, tomando a derivada em relação a θ, igualando a 0 , e resolvendo produz θ ˆ = n 2 + 2 n 3 + 3 n 4 3 n = 66 + 128 + 48 480 = . 504 . As contagens esperadas estimadas são 160 ( 1 - . 504 ) 3 = 19.52,480 ( . 504 ) ( . 496 ) 2 = 59.52 , 60.48 , e 20.48 , so χ 2 = ( 14 - 19.52 ) 2 19.52 + … + ( 16 - 20.48 ) 2 20.48 = 1.56 + . 71 + . 20 + . 98 = 3.45 .O número de graus de liberdade para o teste é 4 - 1 - 1 = 2 . H 0 de uma distribuição binomial será rejeitada usando nível de significância .05 se χ 2 ≥ χ . 05,2 2 = 5.992 .Como 3.45 < 5.99 2 , H o não é rejeitado, e o modelo binomial é considerado bastante plausível.

Passo 2

b. Agora θ ˆ = 53 150 = . 353 e as contagens esperadas estimadas são 13,54,22,17,12,09 e 2,20. A última contagem esperada estimada é muito menor que 5 , então o teste qui-quadrado baseado em 2 d.f. não deve ser usado.

Resposta

a . Como 3.45 < 5.992 , H o não é rejeitado, e o modelo binomial é considerado bastante plausível.

b. A última contagem esperada estimada é muito menor que 5 , então o teste qui-quadrado baseado em 2 d.f. não deve ser usado.

Espero que tenham aprendido com essa questão, até a próxima !

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