Enunciado
Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 1.Exercícios Teóricos - Ex. 12a
Considere a identidade combinatória a
seguir:
(a) Apresente um argumento combinatório para essa identidade considerando um conjunto de n pessoas e determinando, de duas maneiras, o número de possíveis seleções de um comitê de qualquer tamanho e de um presidente para o comitê.
Dica:
(i) Existem quantas seleções possíveis para um comitê de tamanho e seu presidente?
(ii) Existem quantas seleções possíveis para um presidente e os
demais membros do comitê?
Passo 1
Opa galeeeeera! Hoje vamos entender um pouco mais sobre contagem.
a) Vamos escolher pessoas dentre um grupo de pessoas, isso pode ser feito de formas, esse numero binomial expresse exatamente esta ideia, podemos calcular isto pela equação:
Passo 2
E depois de escolhermos estas k pessoas, precisamos escolher quem delas será a presidente e temos k possibilidades para escolhermos este presidente. Então pelo Princípio Fundamental da Contagem há possibilidades de se fazer esta escolha.
Se pensarmos agora que queremos saber de quantas formas podemos fazer este grupo de qualquer tamanho, podemos “varrer” todos os . Então seriam:
Comitês possíveis de pessoas e um presidente.
Passo 3
Também podemos pensar que primeiro vamos escolher o líder, e temos formas de fazer isto e depois escolher os outros, cada um dos restantes podem estar ou não no comitê, havendo 2 opções para cada um das pessoas restantes. Então pelo princípio fundamental da contagem:
Então:
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)