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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade, um curso moderno com aplicações, de Sheldon Ross- Ed: 8º - Capítulo 1.Exercícios Teóricos - Ex. 20

De quantas maneiras n bolas idênticas podem ser distribuídas em r urnas de forma que a i-ésima urna contenha pelo menos bolas, para cada i = 1, ..., r? Suponha que

Passo 1

Opa galeeeeera! Hoje vamos ver como podemos colocar bolas em urnas.

Temos n bolas, r urnas e cada urna i contem ao menos m i bolas.

Como as bolas são idênticas basta sabermos a quantidade total de bolas em cada urna para determinarmos o resultado.

Passo 2

Sendo n i o número de bolas de cada urna, e n i ≥ m i , basta descobrirmos quantas soluções há a equação:

n 1 + n 2 + … + n r = n ,     n i ≥ m i  

Como n i ≥ m i , vamos fazer uma substituição de variável para facilitar a conta:

t i = n i - m i

Assim:

t 1 + m 1 + t 2 + m 2 + … + t r + m r = n

Colocando a soma dos m i para o outro lado:

t 1 + t 2 + … + t r = n - ∑ i = 1 r m i

Passo 3

E utilizando a formula do número soluções não nulas de uma equação:

n - ∑ i = 1 r m i r - 1

Resposta

n - ∑ i = 1 r m i r - 1

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