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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 86

Considere a observação X da distribuição binomial

negativa dada na Seção 5.5. Determine o estimador de

máxima verossimilhança para/>, dado que k é conhecido.

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

A partir das informações, observe que a observação X a partir da distribuição binomial negativa. A função de massa de probabilidade da distribuição binomial negativa é:

b ( x ; x , p ) = x - 1 k - 1 p k q x - k

A função de verossimilhança é:

L x 1 , x 2 , … , x n ; k , p   = ∏ i = 1 n     b x i ; k , p   = ∏ i = 1 n     x i - 1 k - 1 p k q x i - k   = ∏ i = 1 n     x i - 1 k - 1 p n k q n = 1 x i - k

Passo 2

Aplicar logaritmo de ambos os lados da equação anterior, obtemos:

l n ⁡ [ L ]   = l n ⁡ ∏ i = 1 n     x i - 1 k - 1 p n k q n = 1 x i - k   = l n ⁡ ∏ i = 1 n     x i - 1 k - 1 + l n ⁡ p n k + l n ⁡ ∑ n     x i - k   = l n ⁡ ∏ i = 1 n     x i - 1 k - 1 + n k l n ⁡ ( p ) + ∑ i = 1 n     x i - k l n ⁡ ( q )   = l n ⁡ ∏ i = 1 n     x i - 1 k - 1 + n k l n ⁡ ( p ) + ∑ i = 1 n     x i - k l n ⁡ ( 1 - p )

Passo 3

Aplicar diferenciação em ambos os lados da equação anterior; obteremos os seguintes resultados e igualaremos a zero.

∂ l n ⁡ ( L ) ∂ p = 0 ∂ l n ⁡ ∏ i = 1 n     x i - 1 k - 1 + n k l n ⁡ ( p ) + ∑ i = 1 n     x i - k l n ⁡ ( 1 - p ) ∂ p = 0 ∂ l n ⁡ ∏ i = 1 n     x i - 1 k - 1 ∂ p + ∂ [ n k l n ⁡ ( p ) ] ∂ p + ∂ ∑ i = 1 n     x i - k l n ⁡ ( 1 - p ) ∂ p = 0 0 + n k ∂ ( l n ⁡ ( p ) ) ∂ p + ∑ i = 1 n     x i - k ∂ [ l n ⁡ ( 1 - p ) ] ∂ p = 0 n k 1 p + ∑ i = 1 n     x i - k ( 1 - p ) ( - 1 ) = 0 n k p - ∑ i = 1 n     x i - k ( 1 - p ) = 0 n k p = ∑ i = 1 n     x i - k ( 1 - p )

( 1 - p ) p = ∑ i = 1 n     x i - k n k 1 p - 1 = ∑ i = 1 n     x i - k n k 1 p - 1 = ∑ i = 1 n     x i - ∑ i = 1 n     k n k 1 p - 1 = ∑ i = 1 n     x i - n k n k 1 p - 1 = ∑ i = 1 n     x i n k - n k n k 1 p - 1 = ∑ i = 1 n     x i n k - 1 1 p = ∑ i = 1 n     x i n k p = n k ∑ i = 1 n     x i p = k 1 n ∑ i = 1 n     x i p = k x ‾

Resposta

Resposta nos passos.

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