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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 13.Exercícios - Ex. 53

Considere o planejamento completamente aleatorizado com um único fator. Mostre que um intervalo de confiança de 100 1 - α % para σ 2 é

N - a M Q E X α / 2 , N - a 2 ≤ σ 2 ≤ N - a M Q E x 1 - α / 2 , N - a 2

Sendo N o número total de observações no planejamento de experimentos.

Passo 1

Bom galera, vamos considerar um unico fator completamente aleatorizado com a tratamentos e com n número de observações em cada tratamento. Nós sabemos que na analise de variância do cenário completamente aleatorizado, o valor esperado para a soma da média dos quadrados dos desvios é igual a σ 2 , e cada tratamento é pensado como uma população normal com média 0 e variância σ 2 . Assim:

∑ ∑ y i j - y - i . 2 σ 2 = a a - 1 M S E σ 2

= a n - a M S E σ 2

N - a M S E σ 2 ~ x a n - 1 2

Passo 2

Beleza, vamos definir x a 2 como o valor do qui-quadrado com N - a graus de liberdade de tal forma que P x 2 > x a 2 = α . Então o intervalo de confiança 100 1 - α % é dado por:

P x 1 - a / 2 2 ≤ x 2 ≤ x a / 2 2 = 1 - α

→ P x 1 - α 2 2 ≤ N - a M S E σ 2 ≤ x α 2 2 = 1 - α

Continuando:

N - a M S E σ 2 ≤ x a / 2 2

→ N - a M S E x a / 2 2 ≤ σ 2

E:

x 1 - α / 2 2 ≤ N - a M S E σ 2

→ σ 2 ≤ N - a M S E x 1 - α / 2 2

Passo 3

Show de bola, assim temos:

P x 1 - α 2 2 ≤ N - a M S E σ 2 ≤ x α 2 2 = 1 - α

→ P N - a M S E x a / 2 2 ≤ σ 2 ≤ N - a M S E x 1 - a / 2 2 = 1 - α

Aí então, o intervalo de confiança 100 1 - α % para σ 2 é:

N - a M S E x a / 2 2 ≤ σ 2 ≤ N - a M S E x 1 - a / 2 2

Resposta

N - a M S E x a / 2 2 ≤ σ 2 ≤ N - a M S E x 1 - a / 2 2

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