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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 60

Considere o teste nível 0,01 de amostra grande na Seção 8.3 para testar H 0   :   p = 0,2 contra H a   :   p > 0,2 .

a. Para o valor alternativo p = 0,21 , calcule β (0,21) para os tamanhos de amostra n = 100 ,   2500 ,   10.000 ,   40.000   e   90.000 .

b. Para p ^ = x / n = 0,21 , calcule o valor P quando n = 100 ,   2500 ,   10.000   e   40.000 .

c. Na maioria das situações, seria razoável usar um teste nível 0,01 em conjunto com um tamanho de amostra de 40.000? Por quê?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? O que precisamos testar é o seguinte:

H 0   : p = 0,2

H a   : p < 0,2

Com o nível de significância α = 0,01 . Então, bora para os cálculos!!

Passo 2

O teste é de cauda superior. Logo, o β é calculado pela fórmula abaixo:

β μ = Φ p 0 - p + z α p 0 1 - p 0 n p 1 - p n

Onde, z   α = 1 - α = 0,99 . Logo, pelo apêndice do livro z α = 2,33 .

Então, substituindo os valores do enunciado na fórmula que definimos.

β 74 = Φ 0,2 - 0,21 + 2,33 0,2 ( 1 - 0,2 ) n 0,21 ( 1 - 0,21 ) n

Por fim, agora temos nossa fórmula prontinha!! Só basta calcularmos o β para os diferentes valores de n .

Para n = 100 .

β 0,21 = Φ 2,2882 - 0,0246 ∙ 100 = Φ 2,04 = 0 , 9793

Para n = 2500 .

β 0,21 = Φ 2,2882 - 0,0246 ∙ 2500 = Φ 1 , 0 6 = 0 , 8554

Para n = 10000 .

β 0,21 = Φ 2,2882 - 0,0246 ∙ 10000 = Φ - 0,17 = 0 , 4325

Para n = 40000 .

β 0,21 = Φ 2,2882 - 0,0246 ∙ 40000 = Φ - 2,63 = 0 , 0043

Por fim, para n = 90000 .

β 0,21 = Φ 2,2882 - 0,0246 ∙ 90000 = Φ - 5,09 = 1,79 ∙ 10 - 7

Passo 3

A estatística de teste é:

Z = p ^ - p 0 p 0 1 - p 0 n ≈ H 0 N 0 ,   1

Como o teste é de cauda superior, o valor P é definido por:

P = P Z ≥ z = 1 - P Z ≤ z = 1 - Φ z = 1 - Φ p ^ - p 0 p 0 1 - p 0 n

Onde, p 0 = 0,2 e p ^ = 0,21 .

Logo, se n = 100 .

P = 1 - Φ 0,025 ∙ 100 = 1 - Φ 0,25 = 1 - 0,5987 = 0,4013

Se n = 2500 .

P = 1 - Φ 0,025 ∙ 2500 = 1 - Φ 1 , 25 = 1 - 0 , 8944 = 0 , 1056

Se n = 10000 .

P = 1 - Φ 0,025 ∙ 100 00 = 1 - Φ 2,5 = 1 - 0 , 9938 = 0 , 0062

Finalmente, se n = 40000 .

P = 1 - Φ 0,025 ∙ 40000 = 1 - Φ 5 = 1 - 0 , 9999997 = 2,9 ∙ 10 - 7

Passo 4

A diferença real entre nosso valor presumido e o valor real não tem impacto nas questões do mundo real. Portanto, somando ao fato de ser muito caro realizar uma pesquisa com tamanho de amostra n = 40000 , geralmente não se faz uso de uma amostra tão grande.

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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