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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Bussab - Estatística Básica- Ed: 9º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 30

O custo X de manutenção de teares segue uma distribuição normal, X ~ N ( μ ,   400 ) . Durante muito tempo, o parâmetro μ tem sido adotado como igual a 200. Suspeita-se que esse parâmetro aumentou, e só nos interessa saber se o novo parâmetro superior a 210. Assim, queremos planejar um teste em que α = 5 % (quando μ = 200 ) e β = 10 % (quando μ = 210 ).

(a) Qual deve ser o tamanho da amostra?

(b) Qual a RC nesse caso?

Passo 1

Sabemos que X é o custo de manutenção de teares; então, X ~ N ( μ , 400 ) . E as hipóteses que nos interessam são:

H 0 : μ = 200 ,

H 1 : μ > 200 ,

pois suspeita-se que o parâmetro μ aumentou.

Passo 1

(a) Qual deve ser o tamanho da amostra?

Pela afirmação do problema, σ 2 = 400   será sempre a mesma; logo, para todo μ , a média X - de n pacotes terá distribuição N ~ ( μ ,   400 / n ) .

Primeiro, vamos realizar o teste em que α = 5 % (quando μ = 200 ):

α = P r e j e i t a r   H 0 H 0   é   v e r d a d e i r a = P X - > X - c X - ~ N 200 ; 400 n =

= P Z > X - c - 200 20 n = 5 % → X - c - 200 20 n = 1,645 → X - c = 200 + 32,9 n

Agora o teste em que β = 10 % (quando μ = 210 ):

β = P a c e i t a r   H 0 H 0   é   f a l s a = P X - < X - c X - ~ N 2 1 0 ; 400 n =

= P Z < X - c - 2 1 0 20 n = 5 % → X - c - 2 1 0 20 n = - 1 , 282 → X - c = 2 1 0 - 25 , 64 n

Logo:

200 + 32,9 n = 210 - 25,64 n → n = 34,27 ≅ 35

Passo 2

(b) Qual a RC nesse caso?

Como já achamos o valor de n , basta substituirmos em um dos testes...

X - c = 200 + 32,9 n = 200 + 32,9 34,27 = 205,62

Nesse caso, a RC é dada por: R C = ] 205,62 ; + ∞ [ .

Resposta

(a) n = 35

(b) R C = ] 205,62 ; + ∞ [

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