Os dados de amostra algumas vezes representam uma série temporal, onde valor observado de uma variável de resposta no momento . Frequentemente, a série observada mostra grande variação aleatória, o que dificulta o estudo do comportamento de longo prazo. Nessas situações, é desejável produzir uma versão suavizada da série. Uma das técnicas usadas é a suavização exponencial. O valor de uma constante de suavização é escolhido . Então, com valor ajustado no instante , definimos e para .

a. Considere a seguinte série de tempo em que temperatura (°F) de efluente em uma estação de tratamento de esgoto no dia t: 47, 54, 53, 50, 46, 46, 47, 50, 51, 50, 46, 52, 50, 50. Plote cada coordenada em relação a em um sistema bidimensional (um gráfico de série de tempo). Parece haver algum padrão?

b. Calcule o usando 0,1. Repita, para 0,5. Que valor de fornece uma série mais suavizada?

c. Substitua no lado direito da expressão de e então substitua em termos de , e assim por diante. De quantos valores depende? O que acontece ao coeficiente de quando aumenta?

d. Consulte a parte (c). Se t for grande, qual é a sensibilidade de em relação ao valor inicial ? Explique.

A plotagem de cada coordenada pode ser analisada na imagem abaixo:

Logo, podemos notar um padrão cíclico.

Foi nos dada uma fórmula para quando .

Sendo assim, para temos:

E para temos:

Plotando os pontos que encontramos, o gráfico é representado abaixo:

Logo, quando teremos uma série mais suavizada.

Começando com .

Quando aumenta, os coeficientes diminuem. E o depende de e de todos os valores anteriores.

Pela (c) podemos ver que não é sensível porque será muito pequeno.