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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Meyer - Aplicações a Estatística- Ed: 2º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 29

Demonstre: Se P (A| B ) > P (A) , então P (B| A ) > P (B) .

Passo 1

Para demonstrar o que o problema pede vamos lembrar a definição de probabilidade condicional:

P (A| B ) = (P ( A nn B ))/(P (B))

Como, por hipótese, temos P (A| B ) > P (A) , segue que

(P ( A nn B ))/(P (B)) > P (A) -> P (A nn B) > P (A) P (B)

Passo 2

Da mesma forma, aplicando a regra da probabilidade condicional:

P (B| A ) = (P (B nn A))/(P (A)) -> P (B nn A) = P (B| A ) P (A)

Mas abemos também que

P (A nn B) = P ( B nn A )

Assim,

P (A nn B) = P (B| A ) P (A)

Usando o resultado obtido no passo 1:

P (B| A ) P (A) > P (A) P (B)

Cortando P (A) dos dois lados, achamos

P (B| A ) > P (B)

Era isso que tínhamos que mostrar!

Resposta

Demonstração.

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