Exercícios de Probabilidade Condicional - Lista de Exercícios Resolvida

Um empreiteiro apresentou orçamentos separados para a execução da parte elétrica e da parte de encanamento de um edifício. Ele acha que a probabilidade de ganhar a concorrência da parte elétrica é de ½. Caso ele ganhe a parte elétrica, a chance de ganhar a parte de encanamento é de ¾ ; caso contrário, essa probabilidade é de 1/3. Qual a probabilidade de ele:

a) ganhar os dois contratos?

b) ganhar apenas um?

c) não ganhar nada?

A empresa M&B tem 15.800 empregados, classificados de acordo com a tabela abaixo.

Se um empregado é selecionado ao acaso, calcular a probabilidade de ser uma mulher, dado que é um empregado com menos de 25 anos.

Um dado é viciado, de tal forma que a probabilidade de sair um certo ponto é proporcional ao seu valor (por exemplo, o ponto 6 é três vezes mais provável de sair do que o ponto 2). Calcular:

a) a probabilidade de sair 5, sabendo-se que o ponto que saiu é ímpar;

b) a probabilidade de tirar um número par, sabendo-se que saiu um número maior que 3.

60. Como fica a relação abaixo para n eventos quaisquer

Sejam A,B e C pertencentes a um mesmo espaço amostral. Mostre que:

a)

b)

Para sagrar-se campeão de um torneio de tênis, um jogador precisa vencer quatro partidas sucessivas, todas elas eliminatórias. José é um dos participantes e suas probabilidades de vitória em cada partida (caso ele não tenha sido eliminado até então) foram estimadas em: 80% na 1ª partida, 70% na 2ª partida, 60% na 3ª partida (semifinal) e 50% na 4ª partida (final). Observe que estas probabilidades independem de quem seja o seu adversário em cada partida. Calcule as probabilidades de que José:

(a) Não consiga chegar até a final.

(b) Consiga chegar a uma semifinal, dado que não será o campeão.

Três atiradores, Alberto, Bernardo e Carlos, atiram independentemente uma vez num alvo. Sabe-se que as probabilidades de acertar o alvo são 2/3 para Alberto, 3/4 para Bernardo e 1/2 para Carlos. Calcule a probabilidade

a) de que o alvo seja atingido;

b) de que somento um dos três acerte o alvo;

c) de no máximo um dos três acertar o alvo;

d) condicional de Alberto ter acertado dado que o alvo foi atingido por no máximo um dos três atiradores.

15) Um comprimido é produzido em série numa empresa farmacêutica com peso médio de e desvio padrão de com distribuição normal. Os comprimidos passam por um controle de qualidade e os comprimidos com peso menor que e peso maior que são eliminados do lote. Qual a probabilidade de nesse lote restante retirarmos ao acaso um comprimido com peso entre os valores e ?

a)

b)

c)

d)

e)

Uma empresa de telefonia quer saber se vale a pena disponibilizar internet de banda larga para

seus clientes, e encomendou uma pesquisa de mercado, cujos resultados estão a seguir:

16% dos clientes usam a internet mais de 30 horas por semana.

22% dos clientes usam a internet entre 20 e 30 horas por semana.

29% dos clientes usam a internet entre 10 e 20 horas por semana.

33% dos clientes usam a internet menos de 10 horas por semana.

- Dentre os clientes que usam internet mais de 30 horas por semana, 93% estão interessados no

acesso rápido (banda larga).

- Dentre os clientes que usam internet entre 20 e 30 horas por semana, 72% estão interessados no acesso rápido (banda larga).

- Dentre os clientes que usam internet entre 10 e 20 horas por semana, 42% estão interessados no acesso rápido (banda larga).

- Dentre os clientes que usam internet menos de 10 horas por semana, 22% estão interessados no acesso rápido (banda larga).

Pede-se

a) Fazer o diagrama de Venn.

b) Um cliente é escolhido aleatoriamente, qual é a probabilidade de ele estar interessado na internet de banda larga?

c) Dado o interesse na internet de banda larga. Qual a probabilidade de ele pertencer a cada uma das classes de usuário (mais de 30 horas, 20 a 30 horas, etc.)?

Para sagrar-se campeão de um torneio de tênis, um jogador precisa vencer quatro partidas sucessivas, todas elas eliminatórias. José é um dos participantes e suas probabilidades de vitória em cada partida (caso ele não tenha sido eliminado até então) foram estimadas em: 80% na 1ª partida, 70% na 2ª partida, 60% na 3ª partida (semifinal) e 50% na 4ª partida (final). Observe que estas probabilidades independem de quem seja o seu adversário em cada partida. Calcule as probabilidades de que José:

1. Não consiga chegar até a final;
2. Consiga chegar a uma semifinal, dado que não será o campeão.

O professor de uma determinada disciplina sabe, dada a sua experiência ministrando o curso, que a taxa de aprovação na disciplina é de para os alunos que resolvem as listas de exercícios, e de para os que não resolvem. Se dos alunos de certa turma resolvem as listas, qual será a taxa de aprovação desta turma?

Uma empresa de desenvolvimento urbano considera a possibilidade de construir um shopping center num setor do Rio de Janeiro. Um elemento vital é uma proposta em um setor com estrada que liga ao centro da cidade.

Se o Conselho aprovar essa rodovia, há probabilidade da empresa construir o shopping, enquanto, se a rodovia não for aprovada a probabilidade é de apenas .

Com base em informações disponíveis, o presidente da empresa estima que uma chance que a estrada seja aprovada.

Pede-se:

a) Fazer o Diagrama de Venn (partição evento – evento bolota).

b) Qual é a probabilidade de a empresa construir o shopping?

c) Uma vez que o shopping foi construído, qual é a probabilidade de que a rodovia seja aprovada?

Verificou-se que, numa determinada população, de cada pessoas sofre da doença , e de cada pessoas sofre da doença . Também foi observado que, de cada pessoas que sofrem de uma ou duas doenças, uma pessoa sofre de ambas as doenças. Se é a probabilidade de uma pessoa dessa população sofrer das duas doenças, e é a probabilidade de ela sofrer da doença dado que ela sofre da doença , calcule e

Uma usina hidrelétrica possui 2 geradores, e a probabilidade de cada uma delas parar de funcionar é P(F1) = 1/10 e P(F2) = 1/5, respectivamente. A usina fornece energia a uma cidade onde a probabilidade de que a temperatura medida num momento qualquer seja acima de 30◦C é P(Q) = 1/5 (nesses dias, espera-se uma demanda consideravelmente elevada de energia). A administração da usina considera três situações distintas em que esta opera: Satisfatória (S): os dois geradores estão funcionando, e a temperatura está abaixo de 30◦C; Crítica (C): pelo menos um dos dois geradores não está funcionando, e a temperatura está acima de 30◦C; Marginal (M): todos os outros casos. De acordo com as informações acima, e considerando que os eventos F1, F2 e Q são independentes, assinale a alternativa incorreta:

a) d) =

b) d)

c)

e são eventos de um mesmo espaço amostral, tais que , , e . O valor de é:

1. 0,15
2. 0,50
3. 0,12
4. 0,20
5. 0,06

Eu tenho duas moedas: uma delas é honesta, e a outra tem cara nas duas faces. Eu escolho uma das duas moedas ao azar, arremesso-a duas vezes, e nas duas vezes aparece cara. A probabilidade de que eu tenha escolhida a moeda honesta é:

Sejam as variáveis aleatórias e , que representam o número de vezes que um ingressante de 2014 cursou a disciplina Cálculo I e a disciplina Probabilidade, respectivamente. A distribuição de probabilidade conjunta está na tabela abaixo. O valor médio do número de vezes que o ingressante de 2014 cursou a disciplina Probabilidade dado que cursou Cálculo I uma única vez vale:

Um aluno da Poli utiliza o metrô e o circular da estação Butantã para vir à primeira aula da manhã. A probabilidade de ele chegar antes de começar a aula quando ele espera no máximo para tomar o circular vale . A probabilidade de ele chegar antes de começar à aula quando ele espera mais que vale . A probabilidade de ele esperar o circular por no máximo vale . Dado que ele chegou antes de começar a aula, qual é a probabilidade de ele ter esperado no máximo ?

Então a alternativa correta é:

15) Deseja-se projetar um filtro de spam para uma conta de e-mail. Para isso, realizou-se um estudo probabilístico baseado na presença de determinadas palavras-chave (por exemplo, Viagra, você ganhou, etc.) nas mensagens recebidas. A partir desse estudo, conclui-se que a probabilidade das mensagens de spam conterem alguma dessas palavras-chave é . Curiosamente, a probabilidade das mensagens que contém essas palavras serem spam também vale .Constatou-se ainda que a probabilidade de mensagens que não são spam conterem essas palavras é A probabilidade de uma mensagem dessa conta de e-mail ser spam é de:

a)

b)

c)

d)

e)

O receptor de um determinado equipamento de uma rede de telecomunicações recebe mensagens de instruções através de três possíveis transmissores diferentes. Estatísticas da rede mostram que 50% das mensagens recebidas são enviadas pelo transmissor 1, 40% pelo transmissor 2 e 10% pelo transmissor 3. Para fins de garantia de integridade das informações, o protocolo de comunicação exige que o receptor confirme o recebimento repetindo ao seu transmissor a mensagem recebida.

Entretanto, a chance de os transmissores enviarem mensagens contendo erros nos bits que os identificam é de 1%, 3% e 6%, respectivamente. Com base nessas estatísticas, pede-se:

a) Fazer o diagrama de Venn.

b) Qual é a probabilidade de chegar uma mensagem no receptor com erro na identificação do remetente e, portanto, o receptor não ter certeza sobre qual transmissor ele deve responder?

c) Para cada um dos três transmissores, qual a probabilidade de este ter sido o remetente de uma mensagem que chegou no receptor com erro na identificação?

Em uma caixa fechada em que estão dois gatos, há também um dispositivo que pode matar gatos. As mortes dos gatos individualmente são eventos independentes. Cada gato morre com probabilidade 0.5. A caixa permanece sempre fechada. Sabendo que pelo menos um dos gatos morreu no experimento, qual é a probabilidade p que ambos estejam mortos?

Considere quatro caixas, cada uma contendo duas moedas. A primeira caixa contém duas moedas de ouro, assim como a segunda; a terceira caixa contém uma moeda de ouro e uma de prata; e a quarta caixa contém duas moedas de prata. Escolho aleatoriamente uma das quatro caixas, e retiro dela uma moeda, também aleatoriamente. Se a moeda que retirei da caixa é de ouro, a probabilidade de que a moeda dentro da caixa também seja de ouro é:

11) Sejam e duas variáveis aleatórias com valores inteiros. Sabe-se que são possíveis apenas os pares no conjunto além disso, todos os pares nesse conjunto são equiprováveis. Calcule , o valor esperado de usando a distribuição de probabilidade condicional de dado {X=1}. A resposta correta é:

A)

B)

C)

D)

E)

A urna contém bolas brancas e azuis, enquanto que a urna contém bolas brancas e bolas vermelhas. Joga-se uma moeda honesta: se der cara, retira-se bola da urna ; caso contrário retira-se bola da urna . Sabendo-se que a cor da bola retirada foi branca, qual a probabilidade da moeda jogada ter resultado “cara”?

A variável aleatória X tem função distribuição dada por:

Considere:

3. A probabilidade de dado que tem valor negativo é igual a 0.

São verdadeiras apenas as afirmações:

1. (a) e (b);
2. (b);
3. (a) e (b) e (c);
4. (a) e (c);
5. (b) e (c).

Uma urna originalmente contém sete bolas brancas e cinco bolas pretas. Então uma das bolas, de cor desconhecida, some da urna. Se depois disso eu retiro outra bola da urna, e ela é de cor branca, a probabilidade de a bola que sumiu também ser de cor branca é:

Uma certa forma de câncer ocorre à razão de 3 em 1000 pessoas. Desenvolveu-se um teste para

detectar a doença, se um paciente é sadio existe 4% de chance de um alarme falso, e se um paciente tem a doença existe 3% de chance de que o teste não consiga detectá-la.

Pede-se

a) Fazer o diagrama de Venn.

b) Qual a probabilidade de a pessoa ter a doença sabendo que o resultado do teste foi positivo (acusou a existência da doença)?

Atenção – o resultado deste problema vai ser surpreendente.

01) Um sistema possui componentes independentes que possuem tempo de vida distribuído exponencialmente com parâmetro . Para o sistema falhar, os dois primeiros devem falhar ou o terceiro deve falhar, já que os dois primeiros estão associados em paralelo e este conjunto está em série com o terceiro. A probabilidade do sistema durar mais do que é dada por:

A)

B)

C)

D)

E)