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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Meyer - Aplicações a Estatística- Ed: 2º - Capítulo 3.Problemas - Ex. 9

Em uma fábrica de parafusos, as máquinas A, B e C produzem 25, 35 e 40 por cento do total produzido, respectivamente. Da produção de cada máquina, 5, 4 e 2 por cento, respectivamente, são parafusos defeituosos. Escolhe-se ao acaso um parafuso e se verifica ser defeituoso. Qual será a probabilidade de que o parafuso venha da máquina A? Da B? Da C?

Passo 1

Esse é um problema clássico em que vamos usar o teorema de Bayes:

P A B = P B A   P A P B

Essa fórmula relaciona a probabilidade condicional de A acontecer dado que B aconteceu com a probabilidade condicional inversa de B acontecer dado que A aconteceu.

Nesse problema que queremos calcular a probabilidade que o parafuso venha da máquina A dado que ele é defeituoso:

P A     d e f e i t u o s o ) = P d e f e i t u s o     A )     P A P d e f e i t u o s o

Analogamente, para as máquinas B e C, temos

P B     d e f e i t u o s o ) = P d e f e i t u s o     B )     P B P d e f e i t u o s o

P C     d e f e i t u o s o ) = P d e f e i t u s o     C )     P C P d e f e i t u o s o

Passo 2

A probabilidade de um parafuso ser defeituoso dado que ele é de determinada máquina é simplesmente a porcentagem de peças defeituosas produzidas pela máquina:

P d e f e i t u o s o     A ) = 5 100 = 1 20

P d e f e i u o s o     B ) = 4 100 = 1 25

P d e f e i t u o s o     C ) = 2 100 = 1 50

Além disso, as probabilidades de o parafuso ser de determinada máquina são

P A = 25 100 = 1 4

P B = 35 100 = 7 20

P C = 40 100 = 2 5

Por fim, temos que calcular a probabilidade de uma peça ser defeituosa:

P d e f e i t u o s o = P ( d e f e i t u o s o   e   C ) + P ( d e f e i t u o s o   e   B ) + P ( d e f e i t u o s o   e   A )

Por outro lado,

P d e f e i t u o s o   e   A = P d e f e i t u o s o     A ) ⋅ P A = 1 20 ⋅ 1 4 = 1 80

P d e f e i t u o s o   e   B = P d e f e i t u o s o     B ) ⋅ P B = 1 2 5 ⋅ 7 20 = 7 500

P d e f e i t u o s o   e   C = P d e f e i t u o s o     C ) ⋅ P C = 1 5 0 ⋅ 2 5 = 1 125

Portanto,

P d e f e i t u o s o = 1 80 + 7 500 + 1 125 = 25 + 28 + 16 2000 = 69 2000

Passo 3

Daí é só fazer conta:

P A     d e f e i t u o s o ) = 1 20 ⋅ 1 4 69 2000 = 2000 20 ⋅ 4 ⋅ 69 = 25 69

P B     d e f e i t u o s o ) = 1 25 ⋅ 7 20 69 2000 = 7 ⋅ 2000 25 ⋅ 20 ⋅ 69 = 28 69

P C     d e f e i t u o s o ) = 1 50 ⋅ 2 5 69 2000 = 2 ⋅ 2000 50 ⋅ 5 ⋅ 69 = 16 69

Observe que

25 69 + 28 69 + 16 69 = 69 69 = 1

O que faz todo o sentido 😊.

Resposta

P A     d e f e i t u o s o ) = 25 69

P B     d e f e i t u o s o ) = 28 69

P C     d e f e i t u o s o ) = 16 69

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