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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 50

Um determinado tipo de raquete de tênis possui duas versões: média e grande. Sessenta por cento de todos os clientes de certa loja querem a versão grande.

a. Entre 10 clientes selecionados aleatoriamente que querem esse tipo de raquete, qual é a probabilidade de ao menos seis quererem a versão grande?

b. Entre 10 clientes selecionados aleatoriamente, qual é a probabilidade de o número dos que desejam a versão grande estar dentro do intervalo de um desvio padrão da média?

c. A loja possui atualmente sete raquetes de cada versão. Qual é a probabilidade de os 10 próximos clientes que querem essa raquete conseguirem obter a versão desejada do estoque atual?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Seja

X = n ú m e r o   d e   c l i e n t e s   q u e   p r e t e n d e m   a   v e r s ã o   o v e r s i z e   d a   r a q u e t e .

Como 60% dos clientes querem a versão grande, p=0.6, e 10 clientes selecionados aleatoriamente, n=10. Portanto, X tem distribuição binomial X∼Bin(10,0.6).

Passo 2

  1. Função de densidade cumulativa cdf da variável aleatória binomial X com parâmetros n e p é

    2. B x ; n ,   p = P   X   ≤ x =   ∑ y = 0 x b y ; n , p ,   x = 0,1 ,   … , n

    A probabilidade é

    P   X   ≥ 6 = 1 - P X < 5 = 1 - 0.367 = 0.633

  2. Primeiro precisamos determinar o valor médio (esperado) e o desvio padrão.

    3. Proposição: Para uma variável aleatória binomial X com parâmetros n, p e q=1-p, o seguinte é verdadeiro

    E X = n p ;

    V X = n p 1 - p = n p q ;

    σ x =   n p q

    Da proposição, o seguinte é verdadeiro

    E X = n p = 10 ∙ 0.6 = 6

    Temos também a variância

    V X =   n p 1 - p = 10 ∙ 0.6 ∙ 0.4 = 2.4

    De onde obtemos o desvio padrão

    σ x =   V X = 1.5492

    E X -   σ x ≤ X   ≤ E X +   σ x

    6 - 1.5492   ≤ X   ≤ 6 + 1.5492

    P   4.4508   ≤ X   ≤ 7.5492 = P   5   ≤ X   ≤ 7 = b 5 ; 10 ,   0.6 + b 6 ; 10 ,   0.6 + b 7 ; 10 ,   0.6

    = B 7 ; 10 ,   0.6 - B 4 ; 10 ,   0.6

    = 0.832 - 0.1662 = 0.6665

    Passo 3

  3. Por exemplo, se apenas um aluno quer uma raquete oversize, outros 9 querem a versão midsize, o que no nosso caso não é possível (são 7 de cada). Com essa lógica, apenas os valores possíveis de X que resultarão em todos os 10 alunos obterem o que desejam estão entre 3 e 7, incluindo ambos. Portanto

P   3   ≤ X   ≤   =   ∑ y = 3 7 b ; 10 ,   0.6 = B ; 10 ,   0.6 - B 2 ; 10 ,   0.6

= 0.8321 - 0.01229 = 0.82042 ;

Resposta

  1. P   X   ≤ 6 = 0.633
  2. P   4.4508   ≤ X   ≤   7.5492 = 0.6665
  3. P     3   ≤ X   ≤     7   = 0.82042

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