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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 40

Use a definição da Expressão (3.13) para demonstrar que V a X + b = a 2 ∙ σ x 2

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

O Valor Esperado (valor médio) de qualquer função g(X), onde X é uma variável aleatória discreta X com um conjunto de valores possíveis S e pmf p(x), denotados como E g X μ g x é

E g X =   μ g X =   ∑ x   ϵ   S g x ∙ p x

Passo 2

A Variance de X, onde X é uma variável aleatória discreta XX com conjunto de valores possíveis S e pmf p(x)p(x), denotado por V ( X ) ( σ X 2   o u   σ 2 )

V X =   ∑ x   ϵ   S x -   μ 2 ∙ p x = E X - μ 2

O seguinte é verdade

V a X + b = E [ a X + b - E a X + b ) ² ] =   ∑ x   ϵ   S a x + b - E a X + b 2 ∙ p x

= ∑ x   ∈ S a x + b - a E X +   2 ∙ p x

= ∑ x   ϵ   S a x - α μ 2 ∙ p x

= a ² ∑ x   ϵ   S x - E X 2 ∙ p x

= a 2 V X ;

Resposta

V a X + b = a ² V ( X )

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