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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 18

Determine o valor de ser que torna a função uma função densidade de probabilidade conjunta ao longo da faixa

Determine o seguinte:

Passo 1

Temos o seguintes dados:

f ( x , y ) = c ( x + y )

0 < x < 3

x < y < x + 2

Primeiro, precisamos determinar c:

∫ 0 3 ∫ x x + 2 f ( x , y ) d y d x = ∫ 0 3 ∫ x x + 2 c ( x + y ) d y d x = ∫ 0 3 ( c ( x y + y 2 2 ) ) x + 2 x d x =

= ∫ 0 3 2 c ( 2 x + 1 ) d x = ( 2 c ( x 2 + x ) ) 3 0 = 24 c

A integral sobre todos os valores possíveis de x e y deve ser igual a 1:

24 c = 1

Resolvendo para c:

c = 1 24

A função de densidade de probabilidade conjunta então se torna:

f ( x , y ) = 1 24 ( x + y )

Passo 2

Letra a:

A probabilidade é a integral de f ao longo dos intervalos dados:

P ( X < 1 , Y < 2 ) = ∫ 0 1 ∫ x 2 f ( x , y ) d y d x = ∫ 0 1 ∫ x 2 1 24 ( x + y ) d y d x = ∫ 0 3 ( 1 24 ( x y + y 2 2 ) ) 2 x d y =

= ∫ 0 1 1 48 ( - 3 x 2 + 4 x + 4 ) d x = ( 1 48 ( - x 3 + 2 x 2 + 4 x ) ) 1 0 = 5 48 = 0.1042

Passo 3

Letra b:

A probabilidade é a integral de f ao longo dos intervalos dados:

P ( 1 < X < 2 ) = P ( 1 < X < 2 , x < Y < x + 2 ) = ∫ 1 2 ∫ x x + 2 f ( x , y ) d x d y = ∫ 1 2 ∫ x x + 2 1 24 ( x + y ) d y d x =

= ∫ 1 2 ( 1 24 ( x y + y 2 2 ) ) x + 2 x d x = ∫ 1 2 1 12 ( 2 x + 1 ) d x = ( 1 12 ( x 2 + x ) ) 2 1 = 1 3 = 0.333

Passo 4

Letra c:

A probabilidade é a integral de f ao longo dos intervalos dados:

P ( Y > 1 ) = P ( 0 < X < 3,1 < Y < x + 2 ) = ∫ 0 1 ∫ 1 x + 2 1 24 ( x + y ) d y d x + ∫ 1 3 ∫ x x + 2 1 24 ( x + y ) d y d x =

= 7 48 + 5 6 =

= 47 48 =

= 0.9792

Passo 5

Letra d:

A probabilidade é a integral de f ao longo dos intervalos dados:

P ( X < 2 , Y < 2 ) = ∫ 0 2 ∫ x 2 f ( x , y ) d y d x = ∫ 0 2 ∫ x 2 1 24 ( x + y ) d y d x = ∫ 0 2 ( 1 24 ( x y + y 2 2 ) ) 2 x d y =

= ∫ 0 2 1 48 ( - 3 x 2 + 4 x + 4 ) d x = ( 1 48 ( - x 3 + 2 x 2 + 4 x ) ) 2 0 = 1 6 = 0.1667

Passo 6

Letra e:

O valor esperado μ é a soma do produto de cada possibilidade x com sua probabilidade P ( x ) :

E ( X ) = ∫ 0 3 ∫ x x + 2 1 24 x ( x + y ) d y d x =

= ∫ 0 3 ( 1 24 ( x 2 y + x y 2 2 ) ) x + 2 x d x = ∫ 0 3 1 12 ( 2 x 2 + x ) d x = ( 1 12 ( 2 3 x 3 + x 2 2 ) ) 3 0 = 15 8 = 1.875

Passo 7

Letra f:

O valor esperado μ é a soma do produto final de cada possibilidade x com sua probabilidade P ( x ) . Determine o valor esperado para X 2 :

E ( X 2 ) = ∫ 0 3 ∫ x x + 2 1 24 x 2 ( x + y ) d y d x =

= ∫ 0 3 ( 1 24 ( x 3 y + x 2 y 2 2 ) ) x + 2 x d x = ∫ 0 3 1 12 ( 2 x 3 + x 2 ) d x = ( 1 12 ( 1 2 x 4 + x 3 3 ) ) 3 0 = 33 8 = 4.125

A variância é o valor esperado de X 2 diminuído pelo quadrado do valor esperado de X:

V ( X ) = E ( X 2 ) - E ( X ) 2 = 0.609375

Passo 8

Letra g:

A distribuição marginal de X é f integrada sobre todos os valores possíveis de Y:

f X ( x ) = ∫ x x + 2   1 24 ( x + y ) d y = 1 24 x y + y 2 2 x x + 2 = 1 12 ( 2 x + 1 )

Passo 9

Letra h:

A distribuição condicional é a distribuição de probabilidade conjunta dividida pela distribuição marginal:

f Y ∣ x = 1 ( y ) = f X Y ( 1 , y ) f X ( 1 ) = ( 1 + y ) / 24 ( 2 ( 1 ) + 1 ) / 12 = y + 1 6

Passo 10

Letra i:

O valor esperado μ é a soma do produto de cada possibilidade x com sua probabilidade P ( x ) :

E ( Y ∣ X = 1 ) = ∫ 1 3   y f Y ∣ x = 1 ( y ) d y = ∫ 1 3   y 2 + y 6 d y = y 3 18 + y 2 12 1 3 = 19 9 ≈ 2.1111

Passo 11

Letra j:

A probabilidade da condição é a integral ao longo do intervalo dado da distribuição condicional:

P ( Y > 2 ∣ X = 1 ) = ∫ 2 3   f Y ∣ x = 1 ( y ) d y = ∫ 2 3   y + 1 6 d y = y 2 12 + y 6 2 3 = 7 12 ≈ 0.5833

Passo 12

Letra k:

A distribuição marginal de Y é integrada em todas as categorias possíveis de X:

f Y ( y ) = ∫ 0 3   1 24 ( x + y ) d x = x 2 48 + x y 24 0 3 = 1 8 y + 3 16

A distribuição condicional é a distribuição de probabilidade conjunta dividida pela distribuição marginal:

f X ∣ y = 2 ( x ) = f X Y ( x , 2 ) f Y ( 2 ) = ( x + 2 ) / 24 1 / 4 + 3 / 16 = 2 x + 4 21

Resposta

a. 0.1042

b. 0.3333

c. 0.9792

d. 0.1667

e. 1.875

f. 0.609375

g. f X ( x ) = 1 12 ( 2 x + 1 )

h. f Y ∣ x = 1 ( y ) = y + 1 6

i. 2.1111

j. 0.5833

k .   f X ∣ y = 2 ( x ) = 2 x + 4 21

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