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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 35

Determine o valor de c, a covariância e a correlação para função de probabilidade conjunta

Passo 1

A função de massa de probabilidade conjunta é:

f x y ( x , y ) = C ( x + y ) ,   p a r a   x , y = 1,2 , 3

Vamos determinar o valor de c.

Sabemos que:

∑ x ∑ y f x y ( x , y ) = 1

C = 1 36

Então,

f x y ( x , y ) = 1 36 ( x + y ) ,   p a r a   x , y = 1,2 , 3

f x y ( x , y ) = 0 ,   e m   o u t r o   c a s o .

Passo 2

Vamos determinar o valor da covariância:

c o v ( X , Y ) = E ( X Y ) - E ( X ) E ( Y )

Primeiro, temos que calcular a função de densidade de distribuição marginal de X e Y.

p x ( x ) = 1 36 ∑ y = 1 3 ( x + y )

= 1 36 [ ( x + 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 ) ] =

= 1 36 [ 3 x + 6 ]

= x + 2 12

Da mesma forma,

p Y ( y ) = 1 36 ∑ x = 1 3 ( x + y )

= y + 2 12

Agora, vamos calcular:

E ( X ) = ∑ x x p x ( x ) = 13 6

E ( Y ) = ∑ y = 1 3 y ( y + 2 12 ) = 13 6

E ( X Y ) = ∑ x = 1 3 ∑ y = 1 3 x y ( x + y ) =

= 14 3

Passo 3

Portanto, o valor da covariância é:

c o v ( X , Y ) = E ( X Y ) - E ( X ) E ( Y ) =

= - 0.0278

Vamos determinar o valor da correlação.

ρ x y = c o v ( X , Y ) V ( X ) V ( Y )

Passo 4

Primeiro, temos que encontrar:

E ( X 2 ) = ∑ x 2 p x ( x ) =

= 16 3

Da mesma forma:

E ( Y 2 ) = 16 3

V ( X ) = E ( X 2 ) - E ( X ) 2 =

= 23 36

Da mesma forma,

V ( Y ) = 23 36

Agora, vamos calcular a correlação:

ρ x , y = c o v ( X , Y ) V ( X ) V ( Y ) =

= - 0.0435

Resposta

c = 1 36

c o v ( X , Y ) = - 0.0278

ρ x , y = - 0.0435

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