Determine os valores de c de modo que as seguintes funções representem as distribuições de probabilidade conjuntas das variáveis aleatórias X e Y:

(a) f x ,   y = c x y , para x = 1 ,   2 ,   3 ; y = 1 ,   2 ,   3 ;

(b) f x , y = c x - y , para x = - 2 ,   0 ,   2 ; y = - 2 ,   3 .

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para calcularmos c , vamos usar o fato de que a função f ( x , y ) é uma distribuição de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias X e Y , então:

∑ x ∑ y f x , y = 1

Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Usando a definição do Passo 1 para achar c :

Lembrando que x e y assumem os seguintes valores: x = 1 ,   2 ,   3     ;     y = 1 ,   2 ,   3 .

∑ x ∑ y f x , y = 1

= ∑ x ∑ y c x y

= c ∑ x x ∑ y y

= c 1 + 2 + 3 1 + 2 + 3

36 c = 1

c = 1 36

Logo, a distribuição de probabilidade conjunta necessária das variáveis aleatórias discretas X e Y é:

f x , y = 1 36 x y ,             x = 1 ,   2 ,   3     ;     y = 1 ,   2 ,   3

Passo 3

Usando a definição do Passo 1 para achar c :

Lembrando que x e y assumem os seguintes valores: x = - 2 ,   0 ,   2     ;     y = - 2 ,   3 .

∑ x ∑ y f x , y = 1

= ∑ x ∑ y c x - y

= c ( - 2 ) - ( - 2 ) + 0 - ( - 2 ) + 2 - ( - 2 ) + ( - 2 ) - 3 + 0 - 3 + 2 - 3

= c ( 0 + 2 + 4 + 5 + 3 + 1 )

15 c = 1

c = 1 15

Logo, a distribuição de probabilidade conjunta necessária das variáveis aleatórias discretas X e Y é:

f x , y = 1 15 x - y ,             x = - 2 ,   0 ,   2     ;     y = - 2 ,   3

Resposta

(a) c = 1 / 36

(b) c = 1 / 15

Exercícios de Livros Relacionados