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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 55

Dada a função de densidade conjunta

f (x , y) = {[[(6 - x - y)/(8) , 0 < x < 2 , 2 < y < 4],[0 , c a s o c o n t r á r i o]])

Determine P ( 1 < Y < 3 | X = 1 ) .

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para resolver essa questão vamos usar a definição de distribuição condicional, mas antes temos que encontrar a função de densidade marginal da variável aleatória X , que é dada pela fórmula abaixo:

g (x) = int_(- oo)^(oo) f ( x , y ) d y

Então, bora finalizar a questão!!!

Passo 2

Pela definição de distribuição condicional:

P (1 < Y < 3,X = 1) = int_y f ( y | 1 ) d y = int_(y = 1)^3 (f (1 , y))/(g ( 1 )) d y

Achando a função de densidade marginal da variável X :

g (x) = int_y f ( x , y ) d y

= int_2^4 (6 - x - y)/(8) d y

= (((6 y)/(8) - (x y)/(8) - (y^2)/(16))|_2^4

= (3 - (x)/(2) - 1) - ((3)/(2) - (x)/(4) - (1)/(4))

g (x) = (3 - x)/(4)

Agora, podemos encontrar a probabilidade solicitada.

P (1 < Y < 3,X = 1) = int_1^3 (f (1 , y))/(g ( 1 )) d y

= int_1^3 (f (1 , y))/((3 - 1)/(4)) d y

= int_1^3 2 f ( 1 , y ) d y

= int_1^2 ( 2 * 0 ) d y + int_2^3 (2 * (6 - 1 - y)/(8)) d y

= int_2^3 ((5 - y)/(4)) d y

= (((5 y)/(4) - (y^2)/(8))|_2^3

P (1 < Y < 3,X = 1) = (5)/(8)

Resposta

5 // 8

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