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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 36

Em uma tarefa em um laboratório, se o equipamento estiver funcionando, a função densidade do resultado observado X , é

f x = 2 1 - x ,                         0 < x < 1 0 ,                                 c a s o   c o n t r á r i o

(a) Calcule P ( X ≤ 1 / 3 ) .

(b) Qual a probabilidade de que X exceda 0,5 ?

(c) Dado que X ≥ 0,5 , qual é a probabilidade de que X seja menor que 0,75 ?

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para calcularmos a probabilidade de uma função de densidade de uma variável aleatória contínua, nós temos a seguinte fórmula:

P a ≤ X ≤ b = ∫ a b f x d x

Usamos integral neste caso, pois, variáveis contínuas consideram os números irracionais. Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Precisamos achar a probabilidade P ( X ≤ 1 / 3 ) .

P X ≥ 1 / 3 = ∫ - ∞ 1 / 3 f x d x

= ∫ 0 1 / 3 2 ( 1 - x ) d x

= 2 x - x 2 2 0 1 / 3

= 2 1 3 - 1 3 2 - 0

P X ≥ 1 / 3 = 5 9

Passo 3

Agora, precisamos achar a probabilidade P ( X > 0,5 ) .

Como o intervalo da função é de 0 < x < 1 . A relação abaixo é verdadeira:

P X > 0,5 = P ( 0,5 < X < 1 )

= ∫ 0,5 1 2 ( 1 - x ) d x

= 2 x - x 2 2 0,5 1

= 2 1 3 - 1 3 2 - 0 , 5 + 0,5 2 2

P X > 0,5 = 1 4

Passo 4

Por fim, para acharmos essa probabilidade, precisamos usar probabilidade condicional:

P X < 0,75 X ≥ 0,5 = P X < 0,75 ∩ X ≥ 0,5 P X ≥ 0,5

= P ( 0,5 ≤ X < 0,75 ) P ( 0,5 ≤ X ≤ 1 )

= ∫ 0,5 0,75 2 ( 1 - x ) d x ∫ 0 , 5 1 2 ( 1 - x ) d x

= 2 x - x 2 2 0,5 0,75 2 x - x 2 2 0,5 1

= 3 16 1 4

P X < 0,75 X ≥ 0,5 = 3 4

Resposta

(a) 5 / 9

(b) 1 / 4

(c) 3 / 4

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