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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 38

Se a distribuição de probabilidade conjunta de X   e Y é dada por

f x , y = x + y 30 ,               x = 0 ,   1 ,   2 ,   3 ;     y = 0 ,   1 ,   2 ,

Determine

(a) P ( X ≤ 2 ,   Y = 1 ) ;

(b) P ( X > 2 ,   Y ≤ 1 ) ;

(c) P ( X > Y ) ;

(d) P X + Y = 4 .

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Para calcularmos vamos usar a definição de probabilidade conjunta para variáveis discretas. Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Precisamos encontrar a probabilidade P ( X ≤ 2 ,   Y = 1 ) .

P X ≤ 2 ,   Y = 1 = P X = 0 ,   Y = 1 + P X = 1 ,   Y = 1 + P ( X = 2 ,   Y = 1 )

= f 0 ,   1 + f 1 ,   1 + f ( 2 ,   1 )

= 0 + 1 30 + 1 + 1 30 + 2 + 1 30

= 6 30

P X ≤ 2 ,   Y = 1 = 1 5

Passo 3

De forma similar a letra (a), a probabilidade P ( X > 2 ,   Y ≤ 1 ) é:

P X > 2 ,   Y ≤ 1 = P ( X ≥ 3 ,   Y ≤ 1 )

= P X = 3 ,   Y ≤ 1

= P X = 3 ,   Y = 0 + P X = 3 ,   Y = 1

= f 3 ,   0 + f 3 ,   1

= 3 + 0 30 + 3 + 1 30

= 7 30

Passo 4

Agora, vamos calcular a probabilidade P ( X > Y ) usando a definição da função de probabilidade conjunta.

P X > Y = ∑ y = 0 2 ∑ x = y + 1 3 P ( X = x ,   Y = y )

= ∑ y = 0 2 ∑ x = y + 1 3 f ( x ,   y )

= 1 + 0 30 + 2 + 0 30 + 3 + 0 30 + 2 + 1 30 + 3 + 1 30 + 3 + 2 30

= 6 30 + 7 30 + 5 30

P X > Y = 3 5

Passo 5

Agora, vamos calcular a probabilidade P ( X > Y ) usando a de novo definição da função de probabilidade conjunta.

P X + Y = 4 = ∑ y = 0 2 P X = 4 - y ,   Y = y

= P X = 4 ,   Y = 0 + P X = 3 ,   Y = 1 + P ( X = 2 ,   Y = 2 )

= 0 + f 3 ,   1 + f ( 2 ,   2 )

= 3 + 1 30 + 2 + 2 30

P X + Y = 4 = 4 15

Resposta

(a) 1 / 5

(b) 7 / 30

(c) 3 / 5

(d) 4 / 15

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