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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 43

Considere X o tempo de reação, em segundos, para certo estímulo, e Ka temperatura (medida em °F =Fahrenheit e 1 °C = 1,8°F) na qual certa reação começa a acontecer. Suponha que as duas variáveis aleatórias X e Y tenham a densidade conjunta

f x , y = 4 x y ,                 0 < x < 1 ,         0 < y < 1 0 ,                                                       c a s o   c o n t r á r i o

Determine

(a) P 0 ≤ X ≤ 1 2       e       1 4 < Y < 1 2 ;

(b) P X < Y .

Passo 1

Falaa, meu querido/minha querida. Como X e Y são duas variáveis aleatórias contínuas. Para calcularmos a probabilidade vamos usar a fórmula abaixo, a integral definida no intervalo solicitado:

∫ - ∞ ∞ ∫ - ∞ ∞ f ( x ,   y ) d x d y

Então, bora realizar a questão!!!

Passo 2

Usando a fórmula do Passo 1 para calcular a probabilidade solicitada:

P 0 ≤ X ≤ 1 2       e       1 4 < Y < 1 2 = ∫ 0 1 / 2 ∫ 1 / 4 1 / 2 f ( x ,   y ) d x d y

= ∫ 0 1 / 2 ∫ 1 / 4 1 / 2 4 x y d x d y

= 4 ∫ 0 1 / 2 x ∫ 1 / 4 1 / 2 y d x d y

= 4 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 - 1 2 1 4 2

= 4 1 8 1 8 - 1 32

= 4 1 8 3 32

P 0 ≤ X ≤ 1 2       e       1 4 < Y < 1 2 = 3 64

Passo 3

Por fim, queremos a probabilidade da variável X ser menor do que a variável Y . Logo, temos:

P X < Y = P 0 < X < 1 ,   X < Y < 1

= ∫ 0 1 ∫ x 1 f ( x ,   y ) d x d y

= 4 ∫ 0 1 x ∫ x 1 y d x d y

= 4 ∫ 0 1 x 1 - x 2 2 d x

= 2 ∫ 0 1 x 1 - x 2 d x

= 2 x 2 2 - x 4 4 0 1

= 2 1 2 - 1 4

P X < Y = 1 2

Resposta

(a) 3 / 64

(b) 1 / 4

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