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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 2.Exercícios - Ex. 16

Dizemos que a distribuição de variável aleatória X é simétrica (em torno de zero) se P X ≥ x = P ( X ≤ - x ) para todo x ∈ R . Mostre que: (a) se X é simétrica em E X < ∞ , então E X = 0 . (b) se X é simétrica em torno de μ     e     E X < ∞ , então E X = μ (analogamente a definição apresentada, X é simétrica em torno de μ se P X ≥ μ + x = P X ≤ μ - x , ∀ x ∈ R .

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de probabilidade do Dantas se dissermos que a distribuição de variável aleatória X é simétrica (em torno de zero) se P X ≥ x = P ( X ≤ - x ) para todo x ∈ R . Mostre que: (a) se X é simétrica em E X < ∞ , então E X = 0 . (b) se X é simétrica em torno de μ     e     E X < ∞ , então E X = μ (analogamente a definição apresentada, X é simétrica em torno de μ se P X ≥ μ + x = P X ≤ μ - x , ∀ x ∈ R .

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que,

P X ≥ x = P ( X ≤ - x )

Temos que na letra (a) para determinar,

E X < x

Vamos ter,

e t X = ∑ n = 0 ∞ t X n n !

Definindo a esperança simétrica para,

E e t X = E   ∑ n = 0 ∞ t X n n ! = ∑ n = 0 ∞ t n E [ X n ] n !

Logo,

E X ≠ 0

Já na letra (b) para determinar,

P X ≥ μ + x = P x ≤ μ - x ∀ x ∈ R

Temos,

E X = lim a → α ⁡ ∫ - a a | x | π ( 1 + x 2 ) d x = lim a → ∞ ⁡ ∫ 0 a x π ( 1 + x 2 ) d x = lim a → ∞ ⁡ 1 π ( log ⁡ ( a 2 + 1   ) ) = ∞

Como X é uma variável aleatória com distribuição de cauchy que é representada por,

f x = 1 π 1 1 + x 2 ,   p a r a - ∞ < x < ∞

Ficando,

P μ ≥ x = 0

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) E X ≠ 0

b) P μ ≥ x = 0

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