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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 3.Exercícios - Ex. 44

Considere k bolas numeradas de 1   a   k distribuídas em duas urnas: u r n a   I     e     u r n a   I I . Sorteia-se ao acaso um número em { 1,2 , … , k } e transfere-se a bola cujo número foi sorteado para a outra urna. Por exemplo, se a bola cujo número escolhido está na urna I , ela é transferida para a urna I I , e vice-versa. Repete-se este procedimento indefinidamente. Seja X n a proporção de bolas, dentre as k bolas, contidas na urna I após a n-ésima repetição deste procedimento, n ≥ 1 . Seja X a proporção de bolas na urna I antes de se iniciar o processo.

a) determine E X n ( e x p r e s s e   E X n e m   f u n ç ã o   d e   E X n - 1   v i a   c o n d i c i o n a m e n t o ) ;

b) verifique que lim N → ∞ ⁡ E X n = 1 2 , para toda configuração inicial das urnas.

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de probabilidade do Dantas ele pede para considerar k bolas numeradas de 1   a   k distribuídas em duas urnas: u r n a   I     e     u r n a   I I . Sorteia-se ao acaso um número em { 1,2 , … , k } e transfere-se a bola cujo número foi sorteado para a outra urna. Por exemplo, se a bola cujo número escolhido está na urna I , ela é transferida para a urna I I , e vice-versa. Repete-se este procedimento indefinidamente. Seja X n a proporção de bolas, dentre as k bolas, contidas na urna I após a n-ésima repetição deste procedimento, n ≥ 1 . Seja X a proporção de bolas na urna I antes de se iniciar o processo.

a) determine E X n ( e x p r e s s e   E X n e m   f u n ç ã o   d e   E X n - 1   v i a   c o n d i c i o n a m e n t o ) ;

b) verifique que lim N → ∞ ⁡ E X n = 1 2 , para toda configuração inicial das urnas.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Sabendo que a urna 1 e a urna 2 deve ser sorteada temos que,

Na letra (a) para determinar E X n , temos

E Y X = x = ∑ y y P [ Y = y | X = x ]

Podemos defini-la como,

E X n = ∑ i = 0 P [ X = x | x ]

Já na letra (b) para verificar o lim N → ∞ ⁡ E X n = 1 2 temos,

lim N → ∞ ⁡ E X n = 1 2 → P x = n = n j 1 2 n

Vamos ter seu determinante representado por,

lim N → ∞ ⁡ E X n = 1 2 n

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

a) ∑ i = 0 P [ X = x | x ]

b) lim N → ∞ ⁡ E X n = 1 2 n

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