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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 5.Exercícios - Ex. 12

Dois componentes de um minicomputador possuem a fdp conjunta a seguir para seus tempos de vida útil X e Y .

x e - x 1 + y                       x ≥ 0   e   y ≥ 0 0                                         c a s o   c o n t r á r i o

a. Qual é a probabilidade da vida útil X do primeiro componente exceder 3?

b. Quais são as fdps marginais de X e Y? Os dois períodos de vida útil são independentes? Explique.

c. Qual é a probabilidade de o tempo de vida de pelo menos um componente exceder 3?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Para resolvermos essa questão vamos usar a seguinte fórmula:

f X x = ∫ - ∞ ∞ f ( x ,   y ) d y

Que é a função de densidade de probabilidade. Então, bora para os cálculos!!!

Passo 2

Existem duas maneiras de calcular a probabilidade. A primeira é calcular a fdp marginal de X e depois encontrar X > 3 usando a fdp marginal. Então, precisamos calcular as fdps marginais de X e Y .

Para um conjunto adequada A podemos calcular a probabilidade com a seguinte fórmula.

P ( X ,   Y ) ∈ A = ∫ ∫ A f ( x ,   y ) d x d y

Logo, para o nosso exemplo temos:

P X > 3 = ∫ 3 ∞ ∫ 0 ∞ x e - x 1 + y d y d x

= ∫ 3 ∞ ∫ 0 ∞ x e - x ∙ e - x y d y d x

= ∫ 3 ∞ e - x d x

= 0,05

Passo 3

Calculando a fdp marginal de X :

f X x = ∫ - ∞ ∞ f ( x , y ) d y

= ∫ 0 ∞ x e - x 1 + y d y

= - e - x ∙ lim y → ∞ ⁡ e - x y - 1

= e - x

Para x < 0 :

f X x = 0

Logo, podemos escreve-la da seguinte forma:

f X x = e - x                                                           x ≥ 0 0                                 c a s o   c o n t r á r i o

De forma similar, calculando a fdp de y :

f Y y = ∫ - ∞ ∞ f ( x , y ) d x

= ∫ 0 ∞ x e - x 1 + y d x

Usando integral por partes temos:

= x ∙ - 1 1 + y e - x 1 + y 0 ∞ + ∫ 0 ∞ 1 1 + y e - x 1 + y d x

= 0 + 1 1 + y ∙ - 1 1 + y e - x 1 + y 0 ∞

= 1 1 + y 2

Porém, para y < 0 .

f Y y = 0

Logo, podemos escreve-la da seguinte forma:

f X x = 1 1 + y 2                                                           y ≥ 0 0                                                     c a s o   c o n t r á r i o

Para que duas varáveis sejam independentes, precisam respeitar a seguinte equação:

f x ,   y = f X ( x ) ∙ f Y ( y )

Pelos cálculos acima, podemos ver que a relação não é respeitada. Portanto, as variáveis são dependentes.

Passo 4

Pelo menos um componente excede 3. Sendo assim, precisamos calcular o seguinte evento:

X > 3 ∪ Y > 3

Calculando a probabilidade.

P X > 3 ∪ Y > 3 = 1 - P X > 3 ∩ Y ≤ 3

= 1 - ∫ 0 3 ∫ 0 3 x e - x 1 + y d y d x

= 1 - ∫ 0 3 x e - x - 1 x e - 3 x - e - x ∙ 0 d x

= 1 - 0,7

P X > 3 ∪ Y > 3 = 0,3

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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