Enunciado

Encontre a densidade de Z = X + Y para X e Y v.a. independentes, com f(x) = 2x, 0

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para pegar o que aconteceu lá na combinação das variáveis e encontrar a densidade. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser lembrar a achar a função que junte as duas v.a. X e Y.

f x , y = 4 x y

A matriz do Jacobiano que leva a nossa função (x,y) para (z,w), com Z = X+Y e W = X é:

J =   ∂ x ∂ z ∂ x ∂ w ∂ y ∂ z ∂ y ∂ w

J =   0 1 1 - 1 =   - 1

Logo, g z , w = 4 w ( z - w ) ( - 1 )

Passo 3

Pronto!! Agora é só calcular a distribuição marginal em z!!

g z =   ∫ g z , w d w

g z =   ∫ 4 w 2 - 4 w z d w

g z = 4 3 - 2 z

Resposta

g z = 4 3 - 2 z

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