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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 4.4 - Ex. 32

Para um exame com 25 questões do tipo certo-errrado, um estudante sabe a resposta correta de 17 questões e responde as demais chutando.

  1. Calcule a probabilidade dele acertar pelo menos 90% das respostas.
  2. Determine a média e a variância do número de acertos.
  3. Suponha que nesse mesmo exame, um outro estudante saiba a resposta correta para 15 questões e tenha probabilidade de acerto nas demais de 0,7. Qual dos estudantes você espera que tenha melhor desempenho?
  4. Nas mesmas condições do item (c), qual dos estudantes terá desempenho mais homogêneo?

Passo 1

  1. 90% de 25 é 25 × 0,9 = 22,5 , ou seja, ele tem que acertar pelo menos 23 questões. Dessas 23 ele já sabe 17, então ele precisa chutar e acertar 23 - 17 = 6 questões dentre as 8 que ele vai chutar. Podemos modelar esse problema conforme o modelo binomial onde vamos ter uma variável aleatória X ~ b p = 0,5 ,   n = 8

    2. Passo 2

    Calculando a probabilidade dele acertar 6 ou mais questões:

    P X ≥ 6 = P X = 6 + P X = 7 + P ( X = 8 )

    Lembrando que para o modelo binomial temos que:

    P X = k = n k p k 1 - p n - k

    Fazendo os cálculos encontramos:

    P ( X ≥ 6 ) = 0,109 + 0,031 + 0,004 = 0,144

    Passo 3

  2. Para o modelo binomial temos que o valor esperado é:

    3. E X = n p = 8 × 0,5 = 4

    E a variância do modelo binomial é: V a r X = n p 1 - p

    V a r X = 8 × 0,5 × 0,5 = 2

    Passo 4

  3. Agora sabemos que esse segundo estudante vai chutar 10 questões, mas com uma probabilidade de acerto de 0,7. Logo vamos usar o mesmo modelo e para manter a mesma medida de desempenho, vamos supor que ele quer acertar também, 23 questões dentre as 25 questões, logo ele tem que acertar 8 dos chutes dele.

    4. Seguindo o modelo onde agora temos uma variável aleatória Y ~ b ( p = 0,7 ; n = 10 ) , vamos calcular:

    P X ≥ 8 = P X = 8 + P X = 9 + P X = 10

    P X ≥ 8 = 0,383

    Logo o segundo aluno tem uma porcentagem de chance maior de acertar pelo menos 90 % das questões.

    Passo 5

    Na letra c, podemos também fazer uma comparação dos valores esperados, porque:

    E Y = n p = 10 * 0,7 = 7

    Logo o segundo estudante apesar de ter que chutar duas questões a mais, em média ele ainda vai acertar pelo menos uma questão a mais que o outro aluno. Já que o valor esperado do primeiro aluno é 4 e o do segundo aluno é 7.

    Passo 6

  4. Calculando V a r Y :

V a r Y = n p 1 - p = 10 × 0,7 × 0,3 = 2,1

Por uma ligeira diferença, podemos perceber que o primeiro estudante tem uma ligeira tendência de ser mais homogêneo que o segundo.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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